On trouve
La cycloïde et la développée de la parabole sont des cas particuliers de la courbe cherchée.
675. Soit en général une courbe roulant sur Taxe des x et située dans le plan des axes -, pour trouver le lieu décrit par un point A de ce plan invariablement lié à la courbe,
supposons-la rapportée à ce point comme pôle et à la droite quelconque AP comme axe polaire. La droite AP est aussi inyariablement attachée à la courbe. Soient r et d les coordonnées polaires du point M où la courbe touche Taxe des x\ la relation qui les lie est exprimée par une équation
X et y étant les coordonnées du point A, on a aussi (n* 2kk)
(2) tangAM.: = -- = — ,
et
(3) AQ=j=r
Le lieu s'obtient en éliminant 9 et r entre les équations (i), (a) et (3).
En appliquant ici ce calcul, il vient
Si 72 = — I , la courbe mobile est un cercle dont un point est situé au pôle 5 on retrouve la cycloïde.
Pour w = - j la courbe mobile est une parabole qui a son
foyer en A ; ce foyer décrit une chaînette.
Pour 72 = 2, le point A, centre d'une hyperbole équilatère, décrit une courbe dont Téquation dilFérentîelle
(a*-yy
représente un cas particulier de la courbe élastique (n"* 571 et 630).
676. Observons d'abord que Téquation représente une famille de surfaces réglées, dans lesquelles la généralrice rencontre constamment Taxe des z. Cela posé, si l'on désigne simplement par cp et i{/ les fonctions qui figurent dans le second membre, on trouve en diiférentiant
rjf:*z=:tjrj /H- 7"* y" -f- ^j'^*'»
Au moyen de ces relations, l'équation générale des lignes asymptotiques,
<fr* dy
djc* dx
se décompose en ces deux-ci,
xdj — jrdx=zOy [tf" ^x-Y)[xdy — xdx)=:ix(f' dx,
dont la première détermine les génératrices mêmes de la surface. La seconde, qui peut être mise sous la forme
est une équation linéaire, dont Tintégrale
définit un second système de lignes asymptotiques. Cette équation se réduit à
quand ^ = o ; c'est le cas des conoïdes. On trouve en pai^ ticulier pour le coin conique de Wallis (312)
Si Ton suppose cp'" = ai|^', l'équation (1) devient
ïn-l
nx^' * -h (ti/t — i)ûy" = C.r,
ce qui se réduit à (.r 4- a)*cj>'= cx^ pour /i = 1 . Cette équation se rapporte alors à la surface engendrée par une droite mobile glissant sur deux droites fixes, qui sont ici Taxe des z et une parallèle à Taxe des y.
6T7. Cherchons d'abord l'équation de la courbe en supposant, pour plus de généralité, qu'il s'agit d'un cône quelconque du second degré, dont l'équation est
En un point {^ty^ z)^ situé à une distance r de l'origine,
le cosinus de l'angle formé par la génératrice et la tangente
sera
f y. xdx -h rdy -h zdz dr
r dr Us
m étant une constante. Les équations (i) et (2) se transforment au moyen des formules connues
J7 = /-sinôcosy, 7- = r sin 9 siiKp, z = rcosO, et deviennent
,^v sin*ecos> sin*9sin*« cos'Ô
(4) rfr' = mV5» = /72^(^/'2-f-/"c?9'-h/»sin^e)^(p». On tire de l'équation (3)
sin^ô:
en posant, pour abréger,
(5) /?'= rt'sin'(p H- fc»cos'(p;
et par suite
abcdp ahc(b^ — a') sin^ cos^ ^9
Substituant les valeurs de sind et de dO dans l'équation (4)) elle prend la forme
OÙ Ton suppose p remplacé par sa valeur (5).
L'équation (6) s'intègre au moyen des fonctions elliptiques. Lorsque a=: b^ p = a^ etc., on a
ou
L'équation ( 3 ) se réduit alors à
et Ja projection de r sur le plan des xj étant égale à rsinO, il en résulte que la projection de la courbe sur le mjnie plan est une spirale logarithmique. On voit par l'équation (2) que la courbe cherchée est rectiflable.
678. En faisant usage des notations du n® 225, on a reconnu que les carrés des demi-axes de l'ellipse d'intersection sont les racines de l'équation
Or, x^y^ z désignant les coordonnées de K ou de B, on voit sans peine qu'on a
et, par suite, pour l'équation de la surface
dans laquelle
r» = j:>-4-^'-|- zK
Cette construction de la surface des ondes lumineuses a été donnée par Fresnel [Mémoire de l'Institut, t. VII).
