De l'équation 9{x^y^ z) = o de la surface, on tire

Ox Oy os

/, m, n étant les cosinus directeurs de la normale MN au

point M {x,},^).

Soient en outre a^ S^y les cosinus directeurs du rayon incident qui aboutit en M, et qui rencontre en un point fjt(Ç, >3, î^) la surface L à laquelle tous les rayons incidents sont perpendiculaires. Posant /aM = /i, on a

(l) l — x=a/ij Yi — y=z^k^ Ç— zm^/z.

Si «1, 6t, 7i sont des cosinus directeurs du rayon réfracté qui passe en M; |i, rji, ^j les coordonnées d'un point (i^ pris sur ce rayon à une distance de M égale à /ii, on a aussi

et il s'agît de prouver qu'on peut déterminer Ai de telle sorte que les rayons réfractés soient normaux au lieu des points fij. Or, en diiTérentiant les équations (i), on en tire

di = iljc -^ a rth -h hdoL^ dri =z dy -h ^dh -^ hd^ ,

f/Ç =zdz -^ ydh ^ hdy ,

et par suite

puisque la droite fiM est normale à la surface Z. Les équations (2) donnent de même

(3) «krfl, + êi^*ii -1-71^1 =:^aidjp-*-6,r/jr4-7irfz -4- ilà^.

D'un autre côté, la première loi de la réfraction exige que le plan qui renferme le rayon incident et le rayon réfracté contienne la normale en M. On exprime ce fait en écrivant que Vaxe du plan /uiMN est parallèle à celui du plan |:X|MN^ c'est-à-dire qu'on a, i désignant Tangle d'incidence, r celui de réfraction,

6/? — 7»n 6,w — 7,/» 7/ — an 7,/ — a,/?

sin/

sinr

sin/

sinr

am — 6/ sm/

Ctx

m — 61/ sinr

d'où

-. /. tf i

k est ici l'indice de réfraction.

Comme on a

Idjc -^ mdy -^ nffz=z o,

on tire des équations (4)

adx -f- ^djr -\-ydz = A{oLidx •+■ ^xdf + yidz) =z — dà,

ce qui transforme la relation (3) en la suivante :

«1^1 -f- Si'^'»! -+■ 7i<5?Çi = j hd/ii.

11 suffit donc qu'on ait dhi = — pour que les rayons réfractés soient normaux à la surface des points fjti, et par suite à toutes les surfaces parallèles.

Ce théorème remarquable a été trouvé par Malus, dans le cas narticulier où les rayons incidents émanent d'un ^ même point. La première démonstration qu'on ait doiiiirc du cas général est due à Charles Dupin.

682. Prenant le point donné pour origine et la ligne donnée pour axe des a:, l'équation de Tune des sphères sera

X* -t- ^' H- a' = 2ax.

Si Ton désigne en outre par — j — les dérivées partielles

relatives à la surface inconnue, on est conduit à intégrer

réquation

dz r^ -h z* — x' Y dz

dx 2J"Z z l)y

On trouve

-4-J»-hz' = zy^^\

684. On trouve immédiatement, en prenant A pour origine et AB pour axe des z^

dz dz , , ,^

équation qui a pour intégrale

x«-' [(x» +r» -h z^')^-h z\=if(— 685. Jr + 3 -r- =:/WX, ^-hZ-- =/2J.

o'^ ôy

On déduit de là

et, en intégrant,