La fonction u, déGnie par l'équation

u = I — dz,

est, pour chaque valeur de z, susceptible de prendre une infinité de valeurs. En effet, tous les chemins d^intégration qui mènent du point i au point z se ramènent : i*' à Tun d'eux A. ne passant pas par l'origine; 3° au chemin A précédé de lacets ayant leur entrée au point i et leur centre au point zéro. En appelant alors a la valeur de l'intégrale prise le long du chemin A et Ha valeur de l'intégrale prise le long du lacet, les diverses valeurs de u seront données par la formule

n désignant un entier positif ou négatif quelconque. / est d'ailleurs égal à 27rt multiplié par le résidu de— relatif au point zéro : ainsi /= 2Tct.

692. Cette intégrale est une de celles pour lesquelles on peut obtenir l'intégrale indéfinie, comme on le voit n'^ 409, mais la méthode de Cauchy conduit plus rapidement au but. Nous supposerons a réel.

Intégrons la fonction

le long d'un cercle de rayon infini décrit de l'orîgîne comme centre, nous aurons évidemment un résultat nul; mais on peut remplacer ce contour par tout autre renfermaDt les points critiques — i , -}- i , — ae, -f- a/ {Jig* 3o), car la

fonclion reste monodrome à rintérieur de tout contour contenant les deux points — i et -+- 1; nous suivrons alors le chemin formé des quatre lacets ajant leur entrée à l'origine et pour centres de leurs cercles les points critiques. Commençant alors par suivre le bord droit du lacet