On sait que l'importante formule de Cauchj
où /{z) représente une fonction continue et monodrome ù. l'intérieur d'un contour donné S et sur le contour même, œ désignant un point intérieur à ce contour, conduit à celle-ci
Or, si l'on fait dans cette dernière /(2) = e^ eta; = o, on voit immédiatement que la relation proposée existe pour toutes les valeurs entières et positives de /i, et l'on peut supposer que le contour d'intégration est, soit un cercle décrit de l'origine comme centre, soit un lacet ayant ses bords sur l'axe des x négatifs et son point critique au point o, etc. Il s'agit de prouver que cette même relation a lieu quel que soit n,
A cet effet, supposons n compris entre o et i et prenons
pour contour d'intégration ; i" l'axe des x négatifs de — 00 à o ; a® un petit cercle de rayon e décrit autour du point o ; 3^ Taxe des x négatifs de o à — 00; nous aurons
/e^dz r^ e'' dx r~* e^ dx , . .
-^ =Jf^^— -+J -^^(co92/iir-ïsiii2nic),
l'intégrale le long du cercle étant nulle, et la dernière intégrale se trouvant multipliée par cos2/î7ï — tûn^mz, parce que la fonction z'^ est multipliée par la puissance /i**-'™* de l'unité cosamt-f- isin^mz quand le point z effectue une rotation autour de l'origine \ on a donc
re^dz r^ e'dx .
I — -- = / — — -(1 — cosa/i7u-+-ism2/nr)
ou, en changeant a? en — x,
/e^ dz /** , ^ , I — C0S2/11C-+- i sini/iTc = I e~'x~"' dx ■ z'^ J^ cos/iTc — isinniz
ou enfin
c'est-à-dire
— -^ = asinnictr^i — n);
mais (p. 297)
r(n) sin/iit
e^ dz 2Tt
donc
ety par suite,
^ * ITZlJ
e^ dz I
Cette formule, établie pour le cas où n est compris entre o et I, est facile à généraliser; il suffit, pour cela, d'inté-
grer par parties en supposant que Fintégrale qui figure dans cette formule est prise le loog du lacet considéré tout à l'heure et dont l'origine est à — 00. On a en effet ainsi
âîtlLi^ ■*"'*J ^^^J ■" r(/i) et, comme la partie intégrée est nulle,
ii^ij ^«+1 "" nT(n) "" r(/i-+-i)'
en faisant l'intégration en sens inverse, on aurait de même
1 re^dz I
aic*V »'*"* "" r(/i — i)*
La formule (2), ayant lieu quand on augmente ou quand on diminue n d^une, deux, . . . unités et ayant lieu pour toutes les valeurs de n comprises entre o et i etpour touies les valeurs entières de /i, est générale.
695. De l'équation on tire, en la différen liant /i -|- 2 fois,
ou
en posant
' ^ dx'*' dx"- I -i- a?*
(2) étant, en supposant n entier et positif, une solution de (i). Cette équation pourra, dans ce cas, être intégrée complèteuient.
D'aulre part, l'équation (i) du numéro précédent peut
s'écrire
d'^f{x) __ i.a.3.../i Ç f(z)dz
et, si l'on j remplace /(a?) par jj on voit que la solution (2) se présente aussi sous la forme
