i /• dz

ou, en négligeant un facteur constant,

/dz {z-^xy^^^(i-hz^y

l'intégrale étant prise le long d'un contour fermé contenant le points, mais aucun des points — «, H- e. 11 est tout naturel de se demander si l'expression (3) ne serait pas encore une solution de (i) quand n est quelconque, et alors on saurait encore intégrer l'équation (i) complètement. Posant en conséquence

* et portant cette valeur dey dans (i), celle-ci devient

X [(H-a7«) + 2a7(z — ir) + (^ — 2?)«](^-+-i)(/H-2) = o;

pour s'assurer qu'elle est vérifiée, négligeons le facteur (/i -f- i)(/i -H 2); elle se réduit alors à

Cette formule a lieu quand n est entier : cela devait être; mais quand n est fractionnaire ou incommensurable, ou même égal à — 2, elle est fausse, parce que la fonction

48o APPENDICE.

placée sous le signe / n'est pas monodrome ; cependant rinlégration peut être effectuée, et le premier membre est égal à

^ ^ TH-a n-f-a '

Z2 est égal à z^, mais nous employons cette notation pour indiquer que, le point ^ ayant tourné autour de x, les deux termes de la différence ne sont pas identiques, le second étant égal au premier multiplié par le facteur e"^'*^^^'^'^'. Cette différence (5) peut être annulée si /i + 2 >> o, en supposant Z| = jS2 = Qo; on satisfera donc encore à Téquation (1) dans ce cas, si Ton calcule j^ au moyen de (4), en prenant pour contour d'intégration un lacet ayant son entrée à l'infini et son point critique au point a?, ou tout contour équivalent à ce lacet. Si n -f- 2 < o, il faudra prendre le point X voisin du contour d'intégration et intégrer à partir du voisinage de ce point.

Le cas où n= — 2 doit être étudié à part, mais il ue présente pas de difficulté, l'équation se réduisant à