Rappelons que, lorsqu'une fonction /(z) a [jl zéros

dans un contour donné S, de telle sorte qu'on ait

o{z) ne devenant ni nulle, ni infinie dans l'intérieur du contour, le théorème de Cauchy sur les résidus donne immédiatement la relation

dz.

En l 'appliquant ici, nous avons à prendre l'intégrale

•A—{ dz le long du rectangle des périodes que nous par-

courons dans le sens ABDC. A l'exemple de M. Hermite, nous emploierons la notation (PQ) pour désigner la valeur d'une intégrale prise en allant du point P vers le point Q, de sorte qu'on aura (PQ) = — (QP), et la somme à calculer sera représentée par(AB)-h(BD)-j-(DC)+(CA). Or les termes (BD) et (CA) se détruisent, car la fonction sous le signe admettant la période 2K prend la même valeur aux points de BD et de AG qui ont même ordonnée, et (AG) = — (CA). D'autre part, si z est l'affixe d'un point de AB, z -{- *i¥J i est celle du point de GD qui a la même abscisse, et, comme (DG) = — (CD), il en résulte que l'intégrale cherchée, en désignant par a l'abscisse de A, prend la forme

et se réduit à 2 tc if en vertu de l'équation (1) du numéro précédent, ce qui donne