Soit fait, pour abréger. -,,- ' = Z (n'' 699 : nous

calculerons Tintégrale

en raisonnant identiquement comme au n° 700 et, eu égard à la double.périodicité de F(^), on voit qu'elle se réduite

a + llL

F(z)dzy

quantité indépendante de t^ et que nous désignerons parC.

On peut avoir une autre expression de cette intégrale. Elle est égale, en effet, à la somme des résidus de la fonction ¥(^x)Tj{z — t) relative aux pôles situés dans le rectangle des périodes. Ges pôles sont le point t pour la fonction Z(^ — t) et les infinis de F(^). Or H^z — t) n'ayant qu'un zéro dans le rectangle en question, Tj{z — t) n'a que le seul point Z = ^, et le résidu correspondant est ¥{t).

Quant aux résidus relatifs à F(5). supposons que celte fonction admette un pôle a d'ordre de multiplicité /?. Le résidu correspondant R sera, comme on sait, le cocfficienl

de Tdansle développement du produitF(a4-A)Z(a+A—/)

suivant les puissances croissantes de h. Or, par hypothèse,

OU bien

la fonction F^ (z) étant finie et continue dans le voisinage du pôle a.

D'ailleurs, en appliquant la série de Taylor à la fonc-

tîon Z(/ — a — A) = — Z(a-|- /i — ^), on a

il résulte de là que — R a pour expression