ip I

Chaque pôle de F(^) donnant lieu à une expression du même genre, on a la formule générale

ou

( F(0= G-hY TAiZC^ — a)— AjZX^ — a)-^ -^Z'it — a) -h.. .

OÙ la sommation s'étend à tous les pôles de F(^) situés dans le rectangle des périodes.

La relation (A), qui démontre que la fonction doublement périodique F{z) s'exprime linéairement au moyen de la fonction 7j(z) et de ses dérivées, est due à M. Herniite. Elle est 1res remarquable. « C'est l'expression analytique générale des fonctions uniformes admettant les périodes 2R et iK!i et n'ayant que des discontinuités polaires, sous une forme qui offre la plus complète analogie avec celle des fractions rationnelles décomposées en fractions simples. » (Hermite, Cours de la Faculté des Sciences.)

Tous les termes du second membre étant des dérivées, on comprend la grande utilité de cette formule pour Tintégration des fonctions doublement périodiques.

703. II suffit de considérer Tune de ces formules, celle par exemple où Ton a

, ^ I cna?

tna? sno?

On trouve, en didérentiant et ayant égard aux formules [a) du même Tableau,

dz ^snxd,cnx — cnxd.sikx^ dna?

dx "^ sn*a7 ' sn'a?

D'ailleurs, on tire de (i)

sn*a7 = r, dn*a? = -

et, par suite.

On vérifierait les autres formules avec la même facilité.

Remarque /. — Il est bon d'observer que le Tableau n® 5 permet de calculer les dérivées successives de chacune des fonctions qu'il contient et, par là, d'obtenir autant de termes que l'on voudra de leur développement par la série de Maclaurin ou par celle de Tajlor. C'est ainsi qu'on trouve, par exemple,

1+^' , 1 + 14^:5 + ^* , sna: = x — x^ -\ x^-\-. . .,

cna? = -A:'(a?-K)-hl^ — JL!L(^x — K)^

Remarque IL — Ce même Tableau offre aussi l'avantage de fournir sur-le-champ l'intégration, au moyen des fonctions elliptiques, des équations différentielles de la

forme

^ = A /di(id:m^«)(idbm'z«),

le cas excepté où le radical serait imaginaire.

Voici d'ailleurs, d'après Briot et Boaquet, les substita-

lions à eflectoer dans les difTérents cas pour transformer

l'expression

dx

v/A(i -h mx^){i -t- m'x'^) en une autre de la forme

dz

où k est moindre que i :

1** A positif, m = — A*, m!= — A'^, h >► A', on pose

2** A positif, m = A^, m'= A'*, •

hx = ^1 — 2*; 3° A positif, m = AS m' == A'S A > A',

z hx =

4* A négatif, m = ^ h^, m! = A'*,

hx =

5« A négatif, m = -'h^,m' = — A'^ A > A',

704. Considérons deux fonctions entières, l'une ff{x) de degré m et l'autre ^(^) de degré /i, sans facteur commun; si Ton intègre le long d'un cercle de rayon infini décrit de l'origine comme centre, on aura

puisque la limite de . . , . est nulle pour s = « ;

r ^ ^iz)^{z) '

mais le premier membre de la formule précédente est aussi égal à

a désignant une racine de <p(.r) = o, et ^ une racine de ^(x) = o.

Supposons maintenant que <f{x) et ^(x) soient deux fonctions doublcinent périodiques, de mêmes périodes, sans zéros et sans infinis communs. L'équation (1) aura encore lieu si l'intégrale est prise le long du parallélogramme des périodes; mais, en appelant a^, a2, • . . les zéros de <p(^), «i, aj, . . . ses infinis, 6|, 62? • • • les zéros de ^(^), po ^2} ••• ses infinis, la formule (i) pourra s'écrire