La relation (i) donne immédiatement
COL — ac — b
oc — ^-^^—^——^——
x' — a (a — a)j7 -h ac — coL-\-h a — a a — a
a:' — p (a — p)a7-4-ac — c^->rh a — p c^^ — ac — b
et l'on fera paraître dans le second membre une expression semblable au premier en posant
ca — ac — b cS — ac — h ^
d'où l'on voit que a et ^ sont les racines de Féquation obtenue quand on fait od ^=. x dans (i).
Si l'on pose 0 = A", on a la relation
identique, au fond, à l'équation (i). La fonction cherchée F est donc telle qu'en la considérant comme une
aura
fonction /de —, — r» on
il en résulte, en vertu de (a), que la fonction/ jouira de la propriété définie par l'équation
Posons alors
^Zrp=^"' /(e«) = cp(a),
nous aurons
o(a) = cp(M-hlogX:);
mais logA" est de la forme ct> -\- 2mzif n désignant un entier quelconque. Ainsi
et la fonction ^{u) a les deux périodes a> et 2 7rt; par conséquent, la fonction/, en posant
devient doublement périodique. Pour former la fonction f{oc)^ il suffit donc de prendre une fonction doublement
périodique <p(w) et d'y remplacer u par log ^•
Si k était égal à i, a serait égal à ^, et nos conclusions seraient en défaut ; la fonction que nous avons appelée y (tt) serait simplement périodique et aurait pour période 21:/.
Il est facile de constater que, si l'on pose (mod/:<i),
on aura
et par suite, si l'on pose
on aura
TU
706. Les relations qui définissent le point N doivent être de la forme
En exprimant que ce point est sur la courbe B, on trouve
et, en écrivant qu'il est situé sur la tangente MN dont Téquation est
X en (p -h Y sn çp — 7 = 0,
on arrive à la relation
(i) cnç cnij^ -4-y? sn<p snij» = gr,
qu'il s'agit d'interpréter. Or, on voit qu'elle présente une grande analogie avec la formule (n° 161, p. 25)
cosa? cosj^ -h sina? sin^ /i — X:*sin* G = cos G,
au mojen de laquelle Lagrange a exprimé l'intégrale de l'équation d'Euler [p. 120, (3)],
(E rfy di,
Si l'on pose en effet x = amcp, y= ami/y C ^=am^, elle prend la forme
(2) cnîp cnij' + sncp sn<)/ dn9 = cnô,
avec laquelle s'identifie immédiatement l'équation (i) en y faisant
(3) jD = 4/|=dn6, ^ = v/â=cn6;
et comme, en vertu de (E), l'équation (2) est satisfaite par ^ = ± ((f -{- ^) j ia. proposition est démontrée. Des relations (3) on tire
Observons qu'on obtient aussi Téquation (2) en éliminant k^ entre deux des équations ( a) du Tableau n** 4 ( p. 466).
707. Comme on l'a vu dans le nuuiéro précédent, les équations des coniques étant mises sous la forme
aa?2 -f- by^ — ^2 = 0,
on satisfera à la première en posant
cncp snc&
49i APPENDICE.
et à la seconde en posant
CD({/ sn^/dnO cnO
avec les relations
^1 en 6 f
en 0 = -r= > -r—E = ■;= •
/a dne ^^
Par le point M| de la première conique déterminé par le paramètre cpi, menons une tangente à cette conique; elle aura pour équation
a? en îpi -f- ^ sn çt — ^ = o,
et coupera la seconde en deux points Nj et N'^ , dont les paramètres i/ satisferont à la relation
ou
Nous prendrons la valeur de if en N| égale à cp, -4-B. Si parle point N^ nous menons une tangente à la première conique, le cp du point de conlact sera cp» -h 28, et elle rencontrera la seconde conique en un point dont le ^ sera cp^ 4- 38 et que nous appellerons N2. Si par le point N2 on mène encore une tangente à la première conique, le cp du point de contact sera cp, -|- 4O, et ainsi de suite. ^
Le lieu des intersections de deux tangentes quelconques
a? en <pi -H j^ sn cpi — <s = o, a?en(<pi + 2n0) -f-j^sn(cpi-H2nô) — z = o,
s'obtiendra en éliminant cp, entre ces deux équations. On peut évidemment remplacer ces équations parles suivantes
a?cn(cpi-f- n6) -h y sn(cpi-i- nO) — z = o, rr cn(cpi— - /i6) -+-j'sn(cpi — n6) — ^ = o,
d'où l'on lire par soustraction
â7 snnO dn nô sncpidncpi — y ^nnO cncpidn fi = o
ou
cnçpi X dnnô y a se' en ajoutant les formules (i), on a
^sncpicn/iô dnnô -+- arcn/iO cncpi = ^ (i — A:'sn'/i6 sn'cpi),
et si Ton remplace sncp» et cnçj par leurs valeurs tirées de l'équation précédente, il vient
équation d'une conique qui a même triangle autopolaîre que les proposées. En appliquant la méthode des polaires réciproques, on a le théorème suivant, également dû à Poncelet:
Si l'on considère deux coniques et une ligne poly gonale inscrite dans Vune et circonscrite à Vautre, mais non fermée, quand les sommets de cette ligne décrivent la courbe à laquelle elle est inscrite, la droite qui la ferme enveloppe une conique qui a même triangle autopotaire que les proposées; en particulier, V enveloppe ou le lieu peut coïncider avec V une des coniques données; alors on voit que : si Von peut inscrire et circonscrire un même polygone de n côtés à deux coniques, on pourra trouver une infinité de polygones à la fois inscrits et circonscrits à ces coniques,
La marche suivie dans ce numéro et dans le précédent a été indiquée par M. Hermite.
708. Poiir trouver la courbe en question, il faut intégrer l'équation
OÙ
elle peut s'écrire
y dy
OU
nydy{\ -+-yî
"ydy.
ce qui donne, en intégrant,
a/i(i-hy«)' =
c désignant une On tire de là
constante.
^ ^ r 7.ndy
La quantité placée sous le radical est décomposable en facteurs réels de la forme {y^± à){y*±b)^ mais il v aura plusieurs cas à considérer; pour nous borner à un seul d'entre eux, supposons que l'on ait
indy
et a < p, on pourra écrire, en posant — = «/,
in r du
P J i/(i-ha»)(i-HX:'îw2
A:'= ^ désignant le module complémentaire d'un système de fonctions elliptiques dont le module est k. Or, si
l'on a
tna? = m;
on a aussi, comme on le voit par les formules (4) du Tableau n** 5, p. 467,
^1 =/(n-i*'-)(n-A-'«aî);
l'équation (i) donne par conséquent
y Sa: 4- A
— =tanoram^- 9
h désig>nant une constante arbitraire.
709. La courbe dont le rayon de courbure est proportionnel à l'inverse de la normale a pour équation différentielle
j/^ et y désignant les dérivées de l'ordonnée j' et n un coefficient constant. Cette équation peut s'écrire
si l'on intègre en désignant par m une constante, on a .d'où l'on tire
ce qui montre que /n -j- /i et m ne peuvent être positifs à Ja fois. Pour fixer les idées, nous supposerons n = — /?, p étant positif, ce qui revient à admelire que la courbe tourne sa concavité vers la région des jj^ négatifs, et soit en outre/? ^ m >• oj Téqualion s'écrit alors
=Vi
rf:r---" ""^^'
p — jn — jK^ Frrnet. — Recueil. 32
OU
ml \ m
Nous allons essayer d'exprimer ^ et y au moyen des fondions elliptiques. Or le Tableau n*^ 5, p. 467, montre tout de suite qu'on peut donner au radical du second membre de l'équation précédente la forme de celui qui se rapporte à la fonction cn^; il suffit pour cela de poser
d'où
y zzzyJp — mu, /f2 = -^ > A: 2 = —
Au moyen de ces relations, l'équation (i) devient v/m dx [ m -f- (/? — m)u^]du
^'/('-«')(.-Hg«')
Si donc l'on désigne par t une variable auxiliaire définie par la relation
on a
(3) u=—^==cnt,
yp — m
et par suite
-jy- dx=: s/pdx = — [m-H(/? — m)cn«f] dt\
remplaçant cn^t par i — sn^^, et intégrant, il viendra
a? v/Jp = const. — pt-h(p — m) / sn^tdt,
et la courbe cherchée sera représentée par le système des équations (3) et (4). H reste encore à calculer fsn^tdt; nous emploierons pour cela le théorème de M. Hermite (p. 486). Observons d'abord, puisque sn^ a la période 2K'/ et que sn(î;iK-|- ^) == — sn^, sn^^ aura les périodes îK't et 2K; de plus, sn^ a un seul infini K!i dans le rectangle des périodes, pourvu qu'on ait choisi ce rectangle de manière que le pôle K'î ne soit pas sur son contour, et ce pôle sera double pour sn^^. Gela posé, l'équation qui exprime le théorème de M. Hermite devient ici
(5) G = sn«^-+- résidu [sn*^Z(5— t)],
l.e résidu étant pris relativement au pôle unique K! i. Pour le calculer, posons z = K't + A, on aura (p. 465)
sn*(K'i-f-A)Z(K'i — f + A)
et comme sut est de la forme h + ah^ 4- . . . (p. 488), il en résulte que le coefficient de 7 dans le second membre de (6) ou le résidu cherché est
On peut simplifier ce résultat au moyen de la relation
qiiî donne
H7ar-+-fK') e'(x)
Tj'/ HiTTT = W7 — T -^ COnsl.,
li(x-^iK) 6(3?) d'où
ce qui transforme la relation (5) en celle-ci
I re'(t)r
et par suite
On détermine la constante C en remarquant que la valeur de Ar^L est celle de — ^-^^^ — \^'^ ^^-^ pour t=o. c est-
à-dire -^7^ > quant à C, l'équation (7) montre qu'elle est nulle.
710. La courbe dont Tare s est proportionnel au cube de l'ordonnée j^ a pour équation différentielle
et yZ
c^ désignant une constante que l'on peut supposer positive. Désignons par x l'abscisse et différentions, nous aurons
d'où
( i) dx=z /(c2^2 i)(c«j^2-f-i) dy.
Or, quand on a
dy
dt =
5oi
on en conclut (p. 467) que y -=■ — t> les modules étant k et k\ supposons /: = /:'= î— , on aura
a v/(r'-i)(j"+i) et par suite, en changeant y en cy^
a /(c«j^»--i)(c«j^»-Hi)
Si donc, dans la formule (i), on pose oj^= — -> elle deviendra
La courbe en question est alors représentée par les deux équations simultanées
ccut
i Çdt\fi I — cn*< \fi. r dt /^
Il reste à évaluer l'intégrale
dt
cn^ ^ *
à cet effet, et conformément au théorème de M. Hermite (p. 486), nous décomposerons en éléments simples la fonc-
lion — J-» et pour cela nous poserons
G=:— . fjL-Z{^Z-t)dz,
l'intégrale étant prise le long d'un parallélogramme des périodes aK et aKV. De cette formule on tire
le résidu étant pris relativement aux racines de en 3 = o. Il n'y a d'ailleurs dans le parallélogramme d'intégration qu'une racine qui est K, mais elle est quadruple.
Or, nous remarquerons à ce propos que si une fonction uniforme F(5), qui n'a de discontinuités que des pôles, admet le pôle a de multiplicité /?, on a
^ ^ {Z — Ol)P {z — OL)P-i Z — OL ^^ -"
'f{z) restant finie et continue ainsi que ses dérivées dans le voisinage de a. Cette relation fait voir immédiatement que les dérivées successives de F(z)(z — a)^, quand on y fait ^ = a, donnent les valeurs des coefficients A^,, A^i, . . . , et qu'on a en particulier pour le résidu A| relatif à ce pôle
I dp-^
Dans le cas actuel, le résidu sera
1 ^ 6 dz^
Posant, pour abréger, = u, on trouve
l ^ r tr,/ X-, . d^Z(Z— t)
du^ d^Z{z — t)
dz dz^
( -^^-d^-^dJ-^-^-dz^'^^'^'^^
SOLUTIONS. 5o3
et la série de Taylor nous donne (p. 488), en observant qu'on a ici A" = A'= — >
cnz = — ^(^ — K)+^(z-K)8H-....
On déduit de là que, pour <s = K, w est égal à — y/2, et que le second membre de (4) se réduit à son premier terme, qui a pour valeur
OU
la formule (3) devient alors
I ^ 2 rf3Z(K — 0
cn*^ 3 dt^
et la constante C se calcule en faisant ^= o par exemple. On aura par suite, au lieu des formules (2),
•^ ~~ cent '
{'^--^'■^h dt^ -'\
-I- const.
On arriverait à une autre forme du résultat, et qui dispenserait de recourir à l'emploi de la fonction Z, en appliquant l'intégration par parties à Téquation (i). On en lire, en effet,
1 dy^c^y'*—\ =7v/c*j'*--i — 2 ( dys/c'-^y'^—i—i / , -^ ; J . J J s/c*jK*— 1
d'où
5o4 APPEirDICE.
Si Ton pose cy^=z u dans l'iotégrale du second membre, on voit qu'elle rentre dans la quatrième des formules (6)
de la page 467, où Ton a fait A: = Ar'=^— j d'où résulte
qu'en désignant par t une variable auxiliaire définie par l'équation
v/2 du
on a w = c^= — -> le module de la fonction elliptique
étant égal à — > et aussi
Zx=y v/c*7*--i — i— ^H-const.
Il suit de là que la courbe cherchée est représentée par le système des équations
Zcx = f /2 -h G.
711. Pour résoudre la question, on calculera les coordonnées de la courbe représentée par l'équation
/p« -1- ^8 | .-^xy — X — ^ = o
au moyen d'un même paramètre t, A cet effet, par rorigine faisons passer la droite
les X des points d'intersection seront les racines de
x^i^i-^ \i?)-\- 2 jjLar*— xi\-\- jx) = o;
d'où l'on tire
SOLUTIONS 5o5
et
a? = (JL ± /[x2-h(l-|- (JL)(l-h fX»") OU
et
^ = fJl' ± fi /p.* -h fJi' -+- p.* -+- JJH- I .
Appliquons maintenant à la quantité sous le radical les calculs qui permettent de ramener un polynôme quelconque du quatrième degré à la forme bicarrée. Pour cela, il faut la décomposer en facteurs 5 en" l'égalant à zéro, l'équation obtenue a pour racines
a, a», aS, a*,
ou
aie . . 2ir a = cos — -f- 1 sin -- >
en sorte que, en appelant R le radical, on a
R = /(fi-a)(iJi-a«)(HL-a3)(j^a*); posons
nous aurons
en groupant deux facteurs correspondant à deux valeurs conjuguées des a
coso) -H t sino) et cosw — tsino),
on trouve pour produit
v*(a'-h a'* — 2aa' cosbi)
— 2v[a6 -f- a'6'— (a6'4- ba') cosu)] -h b^-h b'*— ibb' cosw.
5o6 APPENDICE.
Pour ramener le polynôme sous le radical à la forme voulue, il faudra poser
ab-\-a'b' — {ab' -^ ba') cos — = o, ab -H a'b' — {ab'-+- ba') cos ^ = o, et, par suite, on pourra prendre
on aura alors
<5) R=(-^^v/(4V"n.î+4cos«^)(4v«sin''^+4cos':^);
nous pouvons écrire
— cos - cos — ^ 1^1 -h v« tang» -j ^i -f- v^ tang^ -ç j
ou, en posant
(4) vtang-y=^, tang^:tang^ =-p,
(5) R= -^ A cos I cos ^/(n- <»)(!-+- A-'2/2).
On rend R rationnel en prenant « = tnô; on a alors
„ 4 7c 271 dn0
R = cos - cos -r
( tn 6 cot -^ -M j ou enfin
=«5 5 en* 6
4 cos— cos -— un 9 R= 5 5 .
( snOcot— H- cn6 i
par conséquent, on aura
la* — laar —
JT
d'aîlleors, le module k' est éz^l à lan^^ : lainç-r^- l] e>l
plus petit que Ta ni té- et. par «uile, k est aassi iï:::niri» qoe runité.
On pourrait, en partent de ces formules. trouTer Taire d'un segment de la courbe; le Cialcal ne présente 2'jcune difficulté, surtout si Ton Tcut calcul- r Faire d'un s€cîeur dont la différentielle esivdx — x Jy: le calcul est un peu long.
