Considérons léqualion

dans laquelle P^, Pj, Pj, .... P„ désignent des fonctions des dérivées pt , /?(, • - - » pa ^^ 1^ fonction inconnue is relatives aux variables jTi. x^: • . . . jt^, ne contenant pas les variables, ni u^ si Ton observe que

(i) du=pidjci-^pidx2 — ...-i-p^djTgj

on aura

Si donc on pose on aura

dç =■ Ti dpi -r- JTî dp<i — -^ Xfi dp a

5o8 APPENDICE.

et, par suite,

réquation proposée pourra alors s'écrire

dç dv

àp\ opn

Supposons que l'on considère, dans cette équation, v comme la fonction et/>i, /?2, ... comme les variables; elle sera linéaire, et Ton pourra Tintégrer. La formule (2)

donnera alors

dv dv

U =V—pij- . . '—Pnj--^

opi opn

c'est-à-dire l'intégrale de l'équation proposée. 713. D'après l'énoncé, le système des équations

donne celui-ci

où (Xpq est le déterminant mineur de D relatif à l'élément apg^ le déterminant SaHa22. . .a«« étant d'ailleurs, comme on sait, égal à l'unité. Si l'on conçoit que dans u les variables x soient exprimées en fonction des variables 2,

on aura

du du du du

SOLUTIONS. , 5o9

On lire de là

^ au du . V ^" 7 <^" . 7 ^« . u 7 "^^

dXi dx% dxn dz^ dz^ âz^

en posant

(3) Zp = XiaijB + Xjajp-H. . .-h Xn^^np =^ Xn^kf

Pour démontrer TégaHté (A), difFérentions l'équation (3) par rapport à Zp en tenant compte des relations (i), il viendra

dJjp dzp

Si l'on fait successivement dans cette équation

et qu'on ajoute les résultats membre à membre, en observant que l'expression

«Al «Arl + «A2 aA:2 -H • • • -+- «A» «A-n

est nulle pour k différent de h et égale à D pour A" = A, on trouve la relation (A).

Si, au lieu de différenlier l'équation (3) par rapport à Zp^ on la différentie par rapport à l'une des variables x, Xq par exemple, on arrive à un résultat digne de remarque. On trouve en effet ainsi, en ayant égard aux relations (2),

que la dérivée -r-^ se présente sous les deux formes

* OX n

àXp àXx <^^2 ^^/i

5lO . APPENDICE.

Or, si Ton donne k p et k q toutes les valeurs entières de I à n, on pourra former le déterminant

~ dxi dx% dxn

et Téquation (4) montre qu'il est égal au produit de

2dZx dZ^ dZn A V^ -^ n/

tion (5) prouvant aussi qu'il est égal à

—^-^ — — • • • — ^-^— dxi dx2 Ox,i

multiplié par la même quantité, il en résulte A = B. Si l'on applique ce résultat à l'expression

qui, par le changement de variable, devient

on voit que l'on aura, quel que soit 5,

dXi

âxi

âXi

àXn

àx\

dxi

dXn

OXn

dZ^

dzi

az,

àZn

les coefficients des diverses puissances de s seront égaux, et l'on aura en particulier, comme tout à l'heure,

âxi dx',

dX,i dZi àZ^ dZfi

ôx,i dzi dz^ * ' * dZn