L'équation proposée renfermant plus de deux va
SOLUTIONS. 5ll
riables indépendantes, la règle de la page 872 ne lui est pas applicable. Aussi croyons-nous utile, à cette occasion, d'indiquer une marche à suivre quand il s'agit d'intégrer des équations de la foroie
(i) F(^, a^i, arj, . .., Tn\p[yPi, .. .,/^»)= o,
011 z est une fonction de n variables indépendantes x^y
X'2^ . . . , .r,i et où l'on a ph = -\ — > h recevant toutes les valeurs entières de i à n.
Dans le cas général, une fonction >s de ^Ti, ^2» • • •> -3:^ qui satisfait à (1) et qui se réduit à une fonction arbitraire Ç de ^<, ^25 • • • ï ^n^\ quand on y donne à Xn une valeur déterminée \n choisie à volonté est dite ^intégrale générale de (1).
Une intégrale complète de (i) est toute équation entre z et les Xh qui satisfait à (i) et renferme n constantes arbitraires.
Soit
une telle équation; on peut concevoir qu'on en déduise une solution de (i) renfermant une fonction arbitraire de n — I variables et qui coïncide généralement avec l'intégrale générale. Pour cela, on y considère les arbitraires comme des variables et en y supposant a„ remplacée par la valeur
(3) a«= cp(ai, aa, ..., ««-i),
où <f désigne une fonction arbitraire. On en déduit les équations
L'intégrale générale s'obtiendrait en éliminant a^y
5l2 APPENDICE.
«2> • • •? <^n-\ entre les équations (2) et (4), mais l'élimination n'est pas possible, à cause de la fonction arbitraire cp qui entre dans (2) et dont les dérivées partielles figurent dans (4). On conserve alors le système des équations (2) et (4) qui définit l'intégrale générale d'une manière suffisante.
La condition imposée à l'intégrale générale z de se réduire à une fonction arbitraire Ç=: 9(j;,, ;r2, ...,^/î«i) quand on donne à Xn la valeur déterminée quelconque \n entraîne des conséquences dont il faut tenir compte.
Si l'on pose, en effet,
on devra avoir, pour Xn= S/i, non seulement -s= tj, mais encore
Outre les intégrales complètes et l'intégrale générale, l'équation (i) peut encore admettre une solution dite intégrale singulière qu'on obtient en éliminant les constantes arbitraires entre l'équation (2) et les équations
dui ' da^ ^ ' dan
La recherche des solutions de l'équation (i) revient donc, en définitive, à celle d'une intégrale complète.
Ce dernier problème est ramené lui-même à l'intégration d'un système d'équations simultanées
/ dxx dxii dx,i dz
\ Xi+Z/?i Xj-f-Z/>2 *** X,i-+-Z/>«'
où l'on a
h prenant toutes les valeurs entières de i à /i.
SOLUTIONS. 5l3
Il importe de remarquer que l'équation (i) peut tenir Heu de Tune des équations de la formule (5).
Supposons ces équations (5) intégrées et que l'on ait déterminé les constantes arbitraires de manière qu'on ait, poura:«=$n,
et soient alors
les intégrales résolues par rapport à z^ Xi, ..., Xn-\^
L'intégrale générale de (i) sera le résultat de l'élimination de 2^, ^o • • • > i/î-o 'j'> • • • 1 ^«î entre les n équations (6) et les n 4- I équations
mais l'élimination ne sera possible, en général, que quand on aura fixé la fonction arbitraire 0. ( Voir, pour la théorie, le Calcul intégral de M. Serret, d'où ce qui précède est un extrait à peu près textuel.)
Revenons maintenant à l'équation proposée.
Pour intégrer cette équation , qui peut être considérée comme la généralisation de celle de Glairaut, il n*y a pas besoin de recourir aux méthodes générales ; posant
Fbenet. — Recueil» 33
5l4 APPENDICE.
—1 = Di , ^ — =p2i • • • î elle devient
et
(i) z = aia?i-+-aja7j-4-. . .-»- a/iir„+/(ai, a», ..., a„),
ai, ^2, •..) a/2 désignant des constantes, en est une intégrale complète. L'intégrale générale s'obtiendra en posant art= ^(«1, «2, . . .^ <3f/j i ) et en éliminant a^, aj, . . ., a^-j entre Téquation (i) et ses dérivées relatives à «<, a^, ..., a„i 5 indépendamment de l'intégrale générale, il existera encore des intégrales singulières que l'on obtiendra par les procédés connus.
715. Pour intégrer cette équation, posons ph = ^ — ? elle deviendra (i) plxl-hplxl-h...-hplx\=i.
Pour intégrer cette équation, on formera les équations
dpi dpi
, , , ~ ^iPÎ " ^ÏPÏ (2) <
dxi dx^ dz
p^x\ piX\ />î^î-+-.-.-+-/?«^/î
Ces équations, auxquelles on doit adjoindre (i), sont surabondantes . Intégrons-les en prenant/? i = nji , /?2 = ^2 ? • • • î ^1 = Çj, ^2= ^2) • • •; ^ = ÎJ pour Xn= \nj on trouve
Pi dx\ -h Xx dpi = 0, . . . ,
d'où l'on tire
p^Xi = TîTiÇi, j )
on a ensuite
dz =
ce qui donne
dxi dx\
I , Xx I , Xt
et à ces formules (3) et (4) il faut joindre
(5) wî?î + ^îîl -+-... -+-wA5J = i,
qui servira à définir w^ et à l'éliminer. Cela posé, pour avoir rintégrale générale de (i), ou la valeur de z qui se réduit à la fonction arbitraire 6(^<,^2> •• •» Xn-\) pour Xn= Çw, on éliminera les/?, les tîj, les $ et Ç entre (i), (3), (4), ( 5) el
ç = e(Çi, ...,ç«i), de
ae
On peut aussi obtenir une intégrale complète en éliminant les p et les ts entre (i), (3), (4), (5), ce qui donne
et en déduire toutes les autres intégrales.
716. Soit z une fonction de ^<, ^2> • • •> -^^wj si l'on pose
dz àxh
= Pht la condition pour que le hessien (p. gS) de z soit
nul s'exprime par Téquation
àp\
âpi
àpi
dxi
dxi
àxn
àpi
àpi
àpi
âxi
àxz
âXn
àpn
âxi
àpn
àpn àXn
5l6 APPENDICE.
le jacobien (p. 98) des fonctions p^, />2? ..-,/>« est donc nul el il existe entre elles une relation
(i) FQdi,/),, ...,j»rt) = o,
F désignant une fonction déterminée. Pour intégrer cette équation du premier ordre, il faudra (n® 714) former les équations ordinaires
[àpj \dpj
dp\ dpi — dz
àpi ^ dpn
Si l'on désigne alors par Ç|, Çj, ..., gJ|, ^2, ..., 2^ les valeurs de x^^ x^^ . . ., /?<, /?2? • . ., ^^ pour Xn^= i„, on aura les intégrales
(3) />i = ^i) /^i=Wî> •••?
i ii\ ^i~ Si ^2—^8 -g — C
^^^ àY " e^F aF aF '
-r ;t Wl-7 h...4-TïJft-r
avec la condition
Pour avoir l'intégrale générale de (i), on désignera par 9(^1, ^2) • • M ^«-1) ui^e fonction arbitraire de X\^ x^-^ .. .-^ Xn-\t et on éliminera les/?, les m, les Ç et Ç entre (3), (4),(5),(i)et
Toi = -rj:- > . . . , W/t i =
On peut donc dire que (4) et (5) donnent la réponse à la question, si l'on suppose que, dans ces formules, xs^ est
= ûfi, 377 = «1, . . .,
