Pour intégrer les équations

f dx =■ X du H- y dv, djy =y du-hx dv^

qui satisfont d'ailleurs à la condition d'intégrabilité complète, on intéarera d'abord

dx dy

dii,"^' dû^^' et l'on aura

X = Xq e»-**o, y zzzyQ e^-^o ; puis on déterminera Xq et jko ^^ moyen des formules

dxo = yo dv, dyo = x^dv, d'où l'on tire

x^ = ae^-^ 6e-*', y^ = ae^ — 6e~«', a et 6 désignant deux constantes arbitraires. On en conclut

y = e«-«o(ae*'— be-^).

719. Il est facile de s'assurer que l'équation proposée est intégrable. Pour l'intégrer, on fera dz = o, et l'on aura

{y^ -^y^ )dx-\- (x^ -^ xz)dy ~Oy

que l'on peut écrire

dx dy

x^ -hxz y^-h yz *

l'intégration donne

, X Xq-\-z . y yo-^ z

log H- lOff —^ ■= O

"^x-^-z xo ^y-hz /o

OU bien

^0 ^^yo désignant les valeurs initiales de a: et y. Pour déterminer â?o, on a ensuite

{y^-^- z) dxo— Xq dz = o,

ou

d'où Ton tire

et, par suite.

log-- = log;; >

cette valeur de Xo portée dans (i) conduit à la relation

x-\-y -^ z " a?oo -t- J^o -H -So intégrale de l'équation proposée.