L'équation

{z* — yx)dx'\- (a?* — zy)dy ->r {y^ — xz) dz = o

présente des difficultés quand on veut lui appliquer la méthode générale; mais, si l'on observe qu'on a identiquement

Xx-h Xy-\-Zz — o,

on en déduit la double égalité

, V y dz — zdy __ zdx — x dz x dy — y dx

z* — xy "" x^ — yz "~ y* — xz

et l'on voit que, en prenant pour variables les rapports de deux quelconques des quantités x, y, z k la troisième, on

est ramené à l'intégration d'une équation différentielle à deux variables. Posant donc - = m, ^ = ç;, et faisant en-

suite -r- =/>, on trouve 1 équation

En la différentiant, on en tire celle-ci

dp __ du p^-^i ~~ u* — I

doiit l'intégrale peut s'écrire

(3) (/> -+-!)(/?-+- a)a(7? -4- cfiy = G( M — i) ( a — a)a(M - a')«',

a et a' désignant les racines cubiques imaginaires de l'unité.

Comme on a d'ailleurs /?= — t7> w=-> en substituant

ces valeurs dans (3) et supprimant les facteurs communs, on obtient pour l'intégrale cherchée,

(a? H-^ H- ^) (a? -h fs! y -f- a^)«(a7 4- a^ -4- a'z)»' = G.

On en pourrait chasser les imaginaires, mais le calcul est sans difficulté et sans intérêt.

Revenant à la relation (a), on reconnaît facilement que la valeur commune des rapports qu'elle contient est égale à

\dy-\-Xdz-^Zdx ^

■" y^z-^Xx^Zy ' .

comme on sait d'ailleurs que la différentielle à deux variables Mdx-^N dy admet j^^ ^^ pour facteur intégrant, l'analogie porte à examiner si l'expression

Xz-hYx-hZy

ne jouirait pas de la même propriété à Tégard de

\dx-\-\ dZ'\-Z dx.

Pour simplifier le calcul, posons

Xz -H Ya?H- Z^= x^-\- y^-\- z^ — Zxyz = cp;

d'où résulte

et Ton trouve que les conditions d'inlégrabilité reviennent ici à Texistence des équations

Y«— ZX Z«— XY X«— YZ

(4) cp= = = ,

dont la vérification est immédiate.

On constate que c'est aux mêmes équations (4) qwe doit

satisfaire - pour être un facteur intégrant du premier

membre de l'équation (i), et il l'est évidemment aussi de

la difi'érentielle

ILdz -\-X dx -^-tdy -= d^.

On peut noter l'identité suivante

X8-h Y3h- Z3— 3XYZ = (a?3+ J3^^3- ^xyz)^,

conséquence immédiate des relations (4).

L'existence d'un facteur intégrant commun aux trois différentielles considérées se rattache aux propriétés des fonctions de la forme

/(x-\- ay -{- ol' z) = P -+- QoL -h Ra',

qui sont elles-mêmes un cas ti*ès particulier d'une théorie générale exposée dans un intéressant Mémoire de M. Laurent Sur les Equivalences algébriques et V Elimination, {Nouvelles Annales de Mathématiques; septembre et octobre i886.)

721 . La composition de D condui t à introduire ici deux expressions de la forme X^ -h [i-^y V(f + [x'<{^, et Voa conçoit qu'en prenant pour X, ijl, X', [jl' des fonctions entières convenables, on puisse égaler ces expressions à d'autres fonctions entières données quelconques. En conséquence, nous poserons

et il importe de remarquer que le déterminant

est nul pour les systèmes de valeurs de a: et j^ qui annulent R et S sans annuler à la fois f et ^. Or, si l'on différentie (2), on a

\ ^ ^ — dj^—R'

dx ^ dx ^ dx ^ dx ^ ^

'()«p d^ dX I ^^F*- __

ày ày àjr ^ dy '

OU, en supposant que ;r et^ soient solutions de (i),

d'où l'on tire, pour les valeurs de x qui satisfont à (i), (3) R'S'=DA;

or, si l'on développe J" suivant les puissances décroissantes de X, on sait que le coefficient de - dans le résultat est y^^,^ ^ >. Xp désignant une racine de R(^) = o; donc

le coefficient de — dans le développement de j^,\l, \ sera ^R\^J)S\) y ^"f désignant une racine de S{y) = o. Il en résulte que V p?'. , c// '"T^ sera le coefficient

de — dans

xy

mais tki^Xp^yq) est nul, excepté pour p=iq^ d'après ce que nous avons vu ; donc la fonction symétriqi:^

2L{xi,yi)V{xi,yi) H'(a^/)S'(^/) '

est le coefficient de — dans le développement de l'expression (4); en vertu de (3) cette fonction symétrique est égale à

^^ 2àD{x,,y,y

ce qu'il fallait démontrer.

Supposons cp de degré m, if de degré n, le plus petit de ces nombres n'étant pas inférieur à 3, les degrés de X, |JL, X', |jl' seront mn — m, mn — n^ mn — /??, mn — /i, le degré de A sera 2.mn — m — /i, celui de D, m + Al — 2. Si donc le degré de F est au plus m -\- n — 3, c'est-à-dire si F est de degré moindre que D, le numérateur de la fraction (4) sera de degré

m -h 71 — 3 + 2 mn — m — n

ou 2/n/i — 3, le dénominateur de degré imn et le coefficient de — sera nul dans le développement de (4); donc,

Si F est de degré inférieur à D /a fonction symétrique

des solutions de (f(x,y) = o, ^{oc, y) = o sera nulle.

Si le plus petit des nombres m et n était inférieur à 3, les relations (2) pourraient n*étre satisfaites qu'en donnant aux multiplicateurs des degrés supérieurs à mn — m et mn — n, mais la conséquence précédente n'en subsisterait pas moins.