Si l'on pose, pour abréger

?*=dî' f*'=àjr' +'=5^' ^*=-àP'

et qu'on différentie les équations proposées en désignant par 8tj^ la différentielle de ^ prise par rapport à ses coefficients sans faire varier x et y, on voit que les points Xpj yp satisfont aux formules

cpi <fa7 + <pt cÇ;^ = o, 4^1 dx -\- ^^dy -{- 1^ =: o,

d'où, en éliminant dy^

et, par suite,

F{x,y)dx ^ l^Tjx.y) ^

Si dans cette formule on fait x=^Xy^ X2, ... et si l'on ajoute les résultats en supposant F de degré m — 3, on aura, en vertu du théorème du numéro précédent,

2F(xp^yp)dxp ^^^ ^ii^pjyp)

L'idée première de ce théorème est due àAbel, la démon-

520 APPEMDICE.

stralion précédente est de Clebsch. Cauchy et d'autres géomètres ont donné des formes un peu différentes au théorème d'Abel {Comptes rendus, mai 184 !)•