PRÉLIMINAIRES» IX

Le produit |>ar dx de la dérivée d'une fonction y de X est la différentielle de cette fonction et se désigne par dy,

La recherche de la différentielle ou la différentiation d'une fonction est donc un problème identique à la recherche de la dérivée.

La dérivée de V ordre n peut s'écrire

d^n' J-K^h ^xj.

OU encore

Soit

JK^'*^ rx\ /^"\ D«7.

^,/, z étant des variables indépendantes; si l'on prend la dérivée de cette fonction n fois par rapport à x^ la dérivée du résultat y fois par rapport à y, puis celle du nouveau résultat q fois par rapport à z^ la quantité à laquelle on parvient ainsi est une dérivée partielle d^ ordre n -+-/? + q de la fonction u et se présente par l'une quelconque des expressions

DSDÇDfM,

dx^^dyPdzl dx'^dyPdy^

La dernière, maintenant la plus généralement usitée, est due à Jacobi, qui réserve la forme ordinaire de la lettre d pour les dérivées des fonctions d'une seule variable.

Ces notations s'étendent sans difficulté au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes.

VIL Soit ç(:r:) la dérivée d'une fonction /(^); l'expression

J (f(x)dx,

NOTATIOMS ET DÉFinn

l'on nomme l'intégrale de <^{x)dx, indique une foncon dont la dérivée esl f{x) ; et le type le plus généra) une pareille fonction est représenté par

u)dx-^

1 désignant par C une quantité quelconque indépenante de x.