Soit fait il en résulte

(le môme

/■(.r + zi)— /(.r-h/^H-l) =

Ajoutant ces égalités membre à membre et faisant croître n indéfiniment, on obtient la relation proposée.

Frenet. — Rccve.'l. 4

5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

5. La relation est connue pour f* = i , et se vérifie pour |x = 2 au moyen de la règle à suivre pour la multiplication de deux séries convergentes. Afin de la démontrer généralement, supposons-la vraie pour l'exposant (x. En posant, pour abréger,

tiju. ■4-i)...(fx+/> — l) a z= — 9

on a

et pour (jt = I ,

Le produit des premiers membres de ces égalités est (i H- j:)~^ •*"*"' \ et celui des seconds membres a pour terme

général

(— i)''(i H- a, -hûa-f-. . .-{'ap)xP.

On a d'ailleurs, comme on sait,

fx(^ -+-l)...f^ H-/? — l) (fx H-l) (p -h 2)...(u -+-/?)

par conséquent

Ainsi la relation proposée subsiste quand on y remplace Il par yL-\-i\ elle est donc générale.

Le mode de raisonnement qu'on vient d'employer fournit aussi la démonstration immédiate de la relation (i).