l'^Soit a>i. Ona

-1-1 a-\-nY\

et Ton sait que le second membre tend vers une limite finie quand n croit indéiiniment. La série (i) est donc convergente.

r- . 1 » ^ I sin « -

Si 1 on suppose y.<i\^ comme le rapport • tend vers

Tunité à mesure que Tare u tend vers zéro, on peut toujours faire en sorte qu'on ait, pour toutes les valeurs de 72 à partir d'une valeur /?,

sin

k étant un nombre déterminé plus petit que i . De là résulte

h. siii

Sin'

l{a-^jjl- {a

Le second membre de rinëgalité augmentant sans limite avec 7z, la série est divergente.

On reconnaît qu'elle Test aussi pour a = i .

1^ Soit a ]> £ . On a, pour toutes les valeurs de n autres que zéro,

;in [

sm '

tang <

ces

par conséquent

*.— - sin«(- l4-sin"(— ^y-:-...-f-sin«(— ^-) L

cos^f-H ^""^ \« + »/ \« + WJ

ce qui démontre la convergence de la série. Si l'on suppose a <^ I , on a

s„^, > -^^ [-a ^ («4-ir "^ • • • "^ [^r^^'J*'

la série est donc divergente^ elle Test encore si a = i .

9. Observons d/abord qu'on a, pour toutes les valeurs positives de x et pour les valeurs négatives de ,r plus grandes que — 1 ,

(A) log(i -4- a:)<;x.

Celte inégalité résulte immédiatement de la relation

H ( idz- 1-1-