On a

sin2fl cos a = — : — 9 2Sina

a sina

cos - = 3

2sm-

sin-

cos -j = f

2 sm ,

sin

cos — = ;

2" . rt '

et. par suite,

2" / sin 2 a

. a 2a ' sm —

d'où résulte

,. sin2a lim P,. = .

La considération de cette limite s'est présentée à Viète [OE usures, p. 4^0)5 à propos de la surface du cercle. Il a été conduit, en effet, à la relation

cos — cos -7- • • • cos —

Qq calcul DIFFÈREKTIEL.

OÙ Sjw ^ désigne la surface du polygone régulier de 2". k côtés, et A l'angle au centre du polygone régulier de k côtés.

l^.. i" On a évidemment

(l -- Wfl,4.,) (1 — I/,,^,) (l — n„,^,) >• I — «„,+ , — ««4.2 — W«-H3»

A^ >> I — ( Wfl,^., 4- Wm+j H- ... -4- Um+j,)'

Or, la série (1) étant convergente, on peut prendi'e m assez grand pour qu on ait

a étant aussi petit qu'on voudra.

De là résulte

2° On peut poser

Ap > I — c.

d*où

par conséquent.

par suite,

15. 1° A„ décroit à mesure que n augmente; il suLit donc d'établir que cette quantité ne décroit pas indciiuiment. Or on a

=:A«(l — Mfl,^.,) (l — tf,,^.2). . .(1 — w„),

et, d'après le numéro précédent^

a. étant une quantité aussi petite qu'on veut pour m suCisaniment grand.

2® On voit de même que

et comme, pour m suffisamment grand, le multiplicateur

de B,„ est moindre que •> on a

c'est-à-dire que B„, qui croît sans cesse avec 72, ne croit pas sans limite.

16. On voit sur -le -champ que B„ croit indéfiniment avec 72, car on a

B„ > 1 -f- Mo -f- Wt -1- . . . -f- Un

et, par hypothèse, la quantité

I/o -♦- Wi -h . . . -f- Un

croit indéfiniment avec n.

Quant à la limite de A„ , si Ton pose

d ou

I — uu on peut écrire

Uh

-- — (i + ro)(l-f-r,). . .(1 -h <'„)>(! + »o)(ï -^-«i)- • -(ï ^««)'

CALCI;L DIFFÉttEWTIEL.

H résulte de là que -- croît indéfiniment avec w, c'està -dire que A„ tend vers zéro.