La formule de Moivre conduit à la relation connue

sin/itrr = m cos

wt-ia?sina? — f j cos'^-'a? sin^a? H-, . ..

En y supposant m impair, elle prend la forme

(1) sîn/nâ? = msinar(n- aisin'ar-+-. . .-4- a,n-\ ûx\^-^x) ou celle-ci

(2) sm/7ia? = mcos'"a7tanga?(n-6j tangua? 4-. ..-f-6;„-itang'»-*iF).

Or, si l'on pose

sina7 = ^ et sinma? = cp(/), l'équation

?(r) = o = j(i -h a2jK*4-. . .-+- am-\y"'-^) admet m racines, qui sont les sinus des arcs suivants :

j^ 1t . ITZ .m I Tt

o, ±— > =fc — , ± ;

ni m 2 m

par suite, la relation (i) peut s'écrire

sinma? = II sina?/ i \/ i —

sinî — / \ sin''2 —

Xi I

. - wi — I ir

1 m Fhenet. — Becueil.

Pour déterminer H, il suffit de remarquer que, si Ton fait X = o, on a

Il = liin — . = Iim -: — m = m,

sin.r

mx siiia:

d'où résulte la relation (A).

On arriverait de la même manière à l'équation (B). 21. Les inégalités (C) peuvent s'écrire

sin(a-+-A) — sina h tang(a-t-/i) — tanga h

siaa a tanga a

ou bien

. h a sin- cos •2

(an ) < - sma,

a tang/i[i -H tanga tang(a -\- A)] > h tanga; et sous cette dernière forme elles sont évidentes, car on a

sin- < -> acosa<sina, tang/i > A, a(n- tang*a) > tanga.

Elles s'établissent aussi très simplement par la Géométrie. Cela posé, de l'identité

smma? = 771 sina:/ i —

sin'a?

sin' — ni

sin'a?

sin^a?

ir.2

ni

sut

on tire

%\iïz = wsin— (l — tti)(l— Mj). . ./l— Mm- A,

en faisant

/l— Um~\\

ni mx = ^, = Un*

Supposons l'arc>5 compris entre les valeurs nit et (n -f- 1)11, n étant plus petit que m ; on peut prendre m assez grand

pour que — soit moindre que -• Par suite, et en appliquant le premier lenime, on a

d'où

( Zf 1 — I ) ( ttj — I ) . . . ( Z^ » ~ 1 ) ( 1 — tt «-♦. 1 ) . . . / 1 — Mm-l\

et enfin

(-,)'.sin^<(-.)'.^(.-|;)(.-^)

[-{4-yA

Le second lemme conduirait de la même manière à la deuxième inégalité.