Posons

a = ^ii7/'cos(a +/?a), v = ^^xPsm{a H-jPg);

on tire de là

u-\- w =i ^ a?/' (cos a -i- isina)(cosjDa-f- 1 sin/>a)

= (cosa -H t sina) ^ [a7(cosa -h t sina)]/'.

La dernière somme est celle des termes d'une progression géométrique^ et elle est égale à

37/1-4-1 (cosa { e'sinâe)'*^^ — f a7(cosa -f- 1; sina) — i

expression qui peut aussi s'écrire

)3:»+i[cos(n-4-T)g H- t'sin(/i -f- i)a] — i| (a?cosa — i — xisina)

1 — IX cosa -h 37*

On en tire, après l'avoir multipliée par cosa -\- î sina,

^«+^os(a-+-/ia) — a:"-»-i cos[a-H (n-f-i)»] — arcosCa— a)-hcosa__

I — 2X cosa -H 07*

x^-*-^s\n{a-\-noL) — a7«-^*sin[a-h (n-hi)g] — a?sin(a— a)-l-sina ^

I — IX cosa -i- a?2

Si l'on fait croître n indéfiniment, u ei if n'ont de limite finie que lorsqu'on suppose a:<^i. On a, dans ce cas,

,. cosa — a7C0s(a — a) ,. sina — xs\n(a — a)

1 — 2ir cosa -i- a?* i — aiFCOsa+x-

Remarque. — Le dernier résultat conduit à celui-ci :

a? sina

= icsina -f-. . .-H a7*'*sin2/ia

I — a a? cosa -h a?'

l a7««-»-isin(2/i -h i)a -h. . ..

En le rapprochant des formules trouvées dans le n" 12, on en déduit

sin2/ia = A2«— 1 sina, sin(2/t -h i)a = Ag« sina;

et par suite

sin2/ia = (-— i)'»+isina V {—r)V'("''^^\{icosayv-+^,

[Lz=n

8in(2 7H-i)a = (— i)«sina \^(-- i)Ia/ ^ )(2 cosa)^^'.

ji.=o

soLUTïorfs. 71

§ II. — Différentiation des fonctions explicites

d'une seule variable.

dx

dx {x — i)*

dy a*

^•^ (aî-:r2)'"