Soit
d'où
ylogsa? = log(Iog,ar),
dy
dx xlogarlogja?'
el généralement
dx a?logxlog,a?...Iogi»-ia?*
dy __ 5ar»
dx ~~ (5a? — 4)»*
dx
^«roslnjr
(l — arï)»
a -h 6 cosa?
coso?
cos'a?
si n'a?
^ 1 (a«— 6«)r rfx 2 an- ftcosar*
g = «.-(co,.log.H-!i^)
SOLUTIONS. "jS
46. Les trois parties dont Texpression se compose ont respectivement pour dérivées
37(1-1- 4 sin*a:) 4^(ï H- ^ sin*ir) Sx
5cos®a? i5 cos*a? i5cos'ir'
dont la somme se réduit à
cos^x
dx
2 sin^
dx a -H 6 cosa? -4- c cos2a7
49. La fonction Xn tend vers une limite finie, car en désignant par a^, a^, . . . , a^i les exposants de x dans X\^ Xi^ . . ., ^„, on trouve
«i=-(n--)> at=ai(n ),
P\ qj \ PIJ
/Il I \
\ T'a' T' â' pn-\qn-\]
La limite de a« étant ^ > il en résulte que a:/i tend vers 0?'"/*, dont la dérivée s'obtient immédiatement.
50. Il suffit de différentier par rapport à x. On obtiendrait de la même manière la relation (i), en partant de la relation (2).
51. Qu'on fasse ^ = o dans les relations du numéro précédent, puis qu'on y remplace h par x\ en différentiant les résultats obtenus, on arrive aux formules à démontrer.
52. Il suffît de diiTérentier deux fois de suite la relation qu^OD trouve en prenant les logarithmes des deux membres de Téquation donnée.
53. On remplace a par x dans l'équation (i) du n° 13 et l'on opère ensuite comme dans le n° 52. Si n croît indéfiniment, on a deux séries convergentes dont les limites sont respectivement
acotaa?, --+-4cot'2a7 -.
§ IIL — Dérivées d^ordre quelconque^
