V(/' — OC/? — 2,...(/?-/n-i)(a-ô^y

— -^ = a« cos ( ax -h n - ) • dx^ \ 2 /

d'^z . / it

— — = a» SIM ( ax -t- 71 dx'^ \ 1

«/» « i-f-cosaa? OO. cos2ip= ;

d'où

dny I û?«COS2a7 ^ . / -ît \

-r~- = ; = 2"-* COS l2X -{- n -

dx^^ 2 t/a7« V 2/

On déduit de là

- = — 2'*"* cos ( 237 H = 2'» -1 sin ( 2a? H • Tt '

rfa?« \ 2 / \ 2

57. On sait comment, au moyen de la formule de Moivre, on exprime les puissances entières de sino: et de cos^ en fonction des multiples de l'arec. Les résultats auxquels on

parvient peuvent s'écrire

(i) 2'^P sln^P a; = {— i)P ^ (— O'^f 'T ) cos(2/) -'ih)x,

(2) 22p+isin«/'+i:r = (— i)/' V (— O^P^r^j sin (2/? -hï— 2 A)ir,

(3) %Pco?>Px = ^^ ( , ) cos(/? — 7,h)x,

La dernière formule donne, en ayant égard au n^ 55,

Si la fonction proposée était sin^a:, les relations (1) et (2) conduiraient à deux formules analogues, Tune répondant au cas de l'exposant pair, l'autre au cas de l'exposant impair.