tf«*cosèa?) xP

En posant

- = tangot,

et ayant égard aux n°' 61 et 62, on trouve

r /» N /'^X , cosfôa? -4-(/i — i)a] X I a?''cos(6a7-+- /ia)-h f jpxP-^ ^^ j — —^

//i\ , . „ , cos[é>a?-h(/i— a)a] . "l

+ (^)/>Cp-Oa?''-» — ^^ T^ +•••

En opérant sur l'expression xP e^'*^^^^^' y on obtiendra à la fois le résultat précédent et celui qui convient au cas où sin6a? remplacerait cos6a? dans la formule considérée.

ia\a — bx a-hbx par suite,

d'^y 1.2.3... nb'^

^ny ^ 1.2.3... nb'^ V I ( i)»-»-i 1

Si n est pair, on peut écrire dr^y 1.2 3...n^«

df^y 1.2 3...n6« V'*//i-4-i\

et si n est impair, on a la formule

On peut appliquer ici la relation du n" 83. 68. ^=-ir L L].

ioya — bx a-\-bx\

En opérant comme au numéro précédent, on trouve pour n pair

d'^y 1.2.3. ..nô» ^ , - . . . .. ,

et pour n impair,

dx'^ {a^ — b-^ xi)n+i j^Q \ 2/i /

69. On obtiendra les formules demandées en remplaçant b par ib dans celles du n** 67; mais on arrive à des résultats plus simples en posant

a^-h b^x^ ia\a — ibx a-i-ibx/^

8o CALCUL DltFÉRENTIEL.

d'où

Sî l'on fait a = rcosy, hx = rsincp, le second membre devient

i** ^^ [cos(/i -hi)çp-4-isin(/n-i)<p

(— i)''cos(n + i)<p — (— i)'*i sin(fH-i)çl.

Il en rjaulte pour n pair

^ =(-!)' __^cos[(/i + i)arctorg — j,

et pour n impair,

^=(-0' ^»sinl(/i + i)arctang— J.

On peut aussi obtenir une formule unique pour les deux cas; en posant en eflet

X — ai bx -+- ai) '

a^'-^b^'X^ iai\b

et opérant à peu près comme tout à l'heure, on trouve, quel que soit n,

5^ = (- O'* ^ sni ^{n + 1) arc tang^ J •

(LiOU VILLE.)

On peut appliquer ici la relation du n° 83.

70. En remplaçant b par ib on rentre dans la question traitée n° 68; on obtient d'ailleurs des formules plus simples en opérant comme au n*^ 69.

ly^ ^__ -iab

dx a^ — h^x^ La question est ramenée à celle du n** 67.

Appliquant ici le théorème du n° 62, et observant qu'on

dJP{a->rhx\ ^ , . 1.3. 5... (2/7 — 1) , — i '- — =( — \\P 1— £- 1^/»,

iP{a-\-hx) « il vient

^^.^ ,.3-(.»-.) r.^y(-.)*(:)Al

où Ton a fait