f(.'^l^)'=zy^h^-\ -^+...H

ax - - J-' - -

<ir ' 1.2 rfor' ' ' 1 . 2 ... 72 É^-r"

Or on a

(?'"*= I + 2 CX^ -f- i^ ^ A'-h. ..,

^*' = 14- ch^-h h*-^

Multipliant ces deux dernières égalités membre à membre et prenant le coefficient de A", on trouve qu'il est égal à

/i(/2 — i) (tï — 2) (rt — 3) ,, V , n

-7— s'obtiendra donc en multipliant cette quantité par

La méthode qu'on vient d'employer peut servir dans plusieurs autres cas. On arriverait d'ailleurs au même résultat en appliquant la relation du n° 83.

78. cos(a:^) -f- / sin(a:^) = e'«' ; par conséquent, en vertu du numéro précédent,

d''cos(x^) .^".sin(a?*)

Remplaçant les puisstnces de i par des exponentielles

au moyen de la relation iP = e ' , le second membre de l'équation précédente pourra s'écrire

on CU-CrL DlFFtKERTlEI..

On déduit de là

= (2x)«COslx»-f-/l-J

-h /l(/I — I) (2x)— »cos ( x> -+- -^ 1

X cos I x' -4- ir

Il suffit de remplacer les cosinus par des sinus pour ob-

tenir ; -»

dx"

79. Après avoir différentié un petit nombre de fois, on s'aperçoit aisément que la dérivée /i'*'^ de j est de la forme

g„ g«* -4- an^i g<"'^^* -f- ... -4- g. g*,

on peut donc poser

D'un autre côté, x ne recevant que des valeurs positives, on a la série convergente

X = tf-* — <?-'* -+- g-" — . . . ;

d'où, en la diflérentiant n fois, ce qui donne encore un résultat convergent,

On a aussi