i^Ona et par suite

Si n = I , il vient

Or

D,7 = D,jrD/X,

D,j = .rD,j;

donc

(2^ x»Di7 = (D,~i)D,j.

Pour 71 = 2, l'équation (i) donne et, d'après ce qui précède, et ainsi de suite.

83. Cette relation se vérifie immédiatement par le calcul pour les premières valeurs de n. Afin de l'établir généralement, supposons-la démontrée pour une valeur n quelconque et cherclions à reconnaître qu'elle subsiste pour la valeur 72 -|- i . En diflerentiant les deux membres , on obtient dans le second, pour le coefficient de y*("+*~*J (•^')î l'expression

^^ 7 ' ^ 2 jr )"-»*-»■»

I • 2 « • • Ar

-f- 2 -^ '- Vt î ■ /i — 2>t -4- 2) (20: »-»*+%

dans laquelle le multiplicateur de (ax)""'*"*"* est

M. » 2> » m % fk

On voit que la loi de composition des termes du second membre dans la relation proposée subsiste encore quand on y change « en /i 4- i ; la formule est donc générale.

On peut appliquer cette formule aux questions des

n°'67, 69, 72, 73 et : 6.

84. En vertu du numéro précédent, le terme général du développement de — ^ est égal a

On a ici

(2ar)'«-='*^«/(»-*-0(jîï).

go CALCUL DIFFÊllKRTIEL.

et par suite,

j,. 1 .w -» / i A 2/1— I 2/î — 3 aA'-f-S, ,x"T" /(*-»-0(x') = (-i)-*-— — -(i— «^) ' •

Pour faire apparaître le produit

qui figure dans le second membre de la relation proposée, observons qu'on a