Considérant le cas général, on a (n

D^F(z) = F'(z)D,z=:F'(z)(/z)D,z; donc

On aurait de même

D/F(z) = Di[F'(z)(/z)»D,z],

et enfin

D;F(z) = Dr' f F'(z) (/3)"D,z].

Cette formule^ donnée par Duhamel, lui a permis de démontrer d'une manière très simple la série de Lagrange.

S VI. — Déi^eloppement des fonctions en séries,

i26. I** Il suflSt de poser A= — x dans la formule (i) pour avoir la formule (2), où 9i représente un nombre compris entre o et i .

2° Soit fait

d'où

L'équation (2) peut alors s'écrire

Y[h^x) = Y{h) -xY'{h — x)--.. .

OU bien, en posant li-^ x ^^^ z^

F(z-4-Jp) = F(z) + j:F'(z) -h. . .

H F(")(3) H ; F»(z H-ÔJ:),

résultat qui ne diiïère pas de la relation (i).