En posant

on reconnaît (n<* 60) que la série de Maclaurin est applicable à cette fonction, le reste de la série tendant vers zéro, quel que soit A, à mesure que le nombre des termes augmente indéfiniment. On a donc

h h' e*«»**cos(Asina:) ==:H — cosxH cos2.r-H . > .

' cos/2.r H- . . . .

On trouve également

e*<^"*'sinf// sinx) = // sin.r H sin2.r H sinSr -4- . . .

h" sin/? c

ï .1. . fi

On peut observer que les développements qui précèdent résultent immédiatement delà relation

en y remplaçant z par h(cosO -h /sin 6).

181. On vérifie aisément (n** 73 ) que le reste de la série de Taylor, dans le cas de arc tang(x -}- h)^ tend vers zéro à mesure que n augmente indéfiniment, pour toutes les valeurs de X dont la valeur absolue est inférieure à Tunité.

On a donc le développement

h" arc tang(j? -f- ^) = are tango; -h h sin'y sin*^ sin2f + . . ,

-4- ( — i)"-* — sin"cp sin/io

où

y = arc taDgjT.

En faisant A = — j?, on trouve la série (1). 132. On a

j = log(iH-x»)^-h log

Pour Jî<^i, log(iH-x')' se développe d'après la série de Maclaurin, et log I i -\ '- — - 1 en série ordonnée

suivant les puissances entières positives et croissantes de la quantité • Ces développements demeurent conver-

(l -hx')^

gents quand on prend tous les termes avec le même signe, et il en est de même pour le développement en série ordonnée par rapport à x d'une puissance entière positive quel-

conque de j-; donc (n° 11)

X = A,.r -4- Aj-r» -f- Aa-r» -f- . . . + A^x" -f- . . . .

Les quantités A„ se déterminent simplement par la méthode des coefficients indéterminés. On a en effet

djr i

^ = A, H-aAjx-i-.. H-wA„x«-«4-. . .= (i + x») *.

&OLtJT10£IS. Io5

Or

la quantité A„ est donc nulle toutes les fois que n est pair, et, pour 71 = ap -h I , on a

par suite,

Ce résultat reproduit le développement de arc sîn z quand on remplace x par iz,