On a

/t = ao /!=•

or

ra = ao

V* or» , I

y —= log - —

et

n = oD

xA

Par conséquent,

(l — af^\\ou\\ — x\ 1 / j:' j::"'

/WX" /TIX^ \ 2 m

Cette équation subsiste même pour j: = i ( n° 1 ) .

134. La série connue qui représente arc sin x est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les

lo6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

limites — i et + i et pour ces limites mêmes, abstractioD faite du signe des termes du développement.^ il en résulte que la fonction (arcsino:)* se représente aussi par une série convergente dans les mêmes conditions. On a donc, d'après le n° 85,

(arc smj?)» = \- h ^ h- . . .

On arrive au même résultat en employant la méttode des coefficients indéterminés.

Il est clair qu'une puissance quelconque entière et positive de arc sin x donnerait aussi lieu à une série convergente pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas en dehors des limites — i et -j- 1 .

135. En différentiant Térjuation du n° 134, il vient arcsinx 2 2.4''-(2« — 2) ^^j

(,;r')' ' ^ 3.5... (an-.)

relation qui suppose x compris entre les limites — i et -|- 1

Soit fait

d*où résulte

arc sinar = arc tangs,

et par suite

arc tanff z :=. i H- 7: h tt-? 1 4-

^ i-4-z'L 3 i-hz' 3.5 Vi-+-zV ^

De cette équation et de la relation connue

7 = arc tang — h arc tang->

SOLUTIOKS. ÏO7

on déduit la suivante, commode pour le calcul de ir :

ïï 4 f ^2 2.4/2\' 2.4.6/2y "1

4"~io! 3 10 3.5\io/ 3.5.7 \io/ J

AT -— lÂi—Y iiiiË/'-LV 1

10 L 3 10 3.5 \io/ 3.5.7 \IO/ ''*J*