Soit

jr= tangj: = sinx(i — sin*j:) *.

Si Ton a. X <^-f tang:r est développable en une série

convergente ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de sinx^ et la convergence de la série ne cesserait pas d'exister si tous les termes étaient pris positivement. Comme il en est de même du développement en série d'une puissance entière et positive quelconque de sinj: (n° 11), on peut donc poser, en remarquant que laiï^x est une fonction impaire,

tang.ri=x + T» -+- T» — -— 4-

3ll-f-l

Pour trouver la loi qui lie les coefficients, diiFérentions (2/1 -H i) fois les deux membres de Téquatioii

y Q.Çi%x 7=z sin^, ce qui donne {riP^ 55 et 62 )

COSor^O'^O -f- (2/2 -+- 1) €05 ix -f- - ) j(^) -H . . .

j COs(a- -|-jr7 7r) jC^+'-V) -h . . .

= sin I jr -f-

;o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Faisant x=o dans ce résultat, on en tire

En suivant une marche tout à fait semblable, on trouverait

sec jr = I 4- T, h T* =—7 -h . . .T,» h. . .

avec la relation

•SiS^ZlI