in -f- l

et, par suite,

r= IH ô -4-

Si Ton remplace maintenant z par j:* dans ce dernier résultat, et qu'on multiplie les deux membres par x^ on obtient la relation

c'est-à-dire

On trouverait d'une manière analogue

Ces résultats démontrent que les remarquables formules du n^ 22 subsistent encore quand on y remplace j: par ix-

SOLUTIOUS,

ii5

§ VII. — Changement de variables.

or'

4»^ dy dx dy q — P^ dx 'x[q ^ p)i

dx dt dt I — /' dt ( I — r»)»

De là résulte l'équation

/ \dy .

La substitution (i) est à remarquer; elle est souvent employée pour faire disparaître les expressions irrationnelles Je la forme y^x'-i- ax -h 6.

^*^- dx- dt"" ' </x' -^ U^' ^^/

^'j / xdy .

14>9. On trouve, en recourant aux imaginaires,

= / langT?

dy tly t d^y , t Id^y 2 t dy

</x . f/f / dx- i\dO i ^ i dt I

d^y nay d^y , ,, ,

I — /tang-7

'^"- dx- dt ' £/.r»-"\rfr' ^^y^ '

d^y ld\r ^ d'y dy\

dx* \dt' dl^ dt

]l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, par conséquent,

152. La relation ( 2 ) permet d'exprimer x en fonction de y et donne

(3) tang(x — jr) — — j— ^ tang^ = ^ tangj-,

^ . I — Xen iaisant r = u.

On tire de là

cos»r-*-f*sin'^

flte = ( I -h fA ) 4-: — =^ (fy.

Pour calculer sino:, on met Tëquation (3) sous la forme

xz=y'^ arc tang( /z tang/ ),

d'où Ton déduit

sinj pcosT^tangj^

sin JT == — =^=z= H — ^ y

y^ I H- p* tang'j^ y/i -h p* tang'^

et, par suite.

^i — X'sin'o: ^ I — ( I — ^* ) sin*/

La substitution (2) employée ici est appelée transformation de Landen, du nom du géomètre anglais qui Ta fait connaître [Philosophical Transactions, 1771 et i77Î)' Elle joue un rôle important dans la théorie des fonctions elliptiques.