T- = sinô — H
oy dr r ôô
d^u . ,^d*u cos'ô d»« cos*d ^« = sin Ô ^r^ ■+-
a sin9cos9
V'5^ dôj
Pour avoir -y-^j il suffit de changer dans réquatîon pré-
TT
cédenle j^ en jr en 6 en - -H 9, ce qui donne
d^u ^à*u sin*ô d*u sin*0 du
= cos'ô
djc* dr* r» de* r dr
2sîn5cosô/ d'à du
Vdrdô dôj'
et par suite
d*a d^u d'« I d'à i du
d? ^» "~ dr» r» ^^ 7 dr "*
158. Si l'on désigne par 5 une inconnue auxiliaire telle qu'on ait
j = r sin 0,
il en résulte
j =: # sin y, zz=s cos^, j = /sin5, jrznrcosô.
En ne considérant d'abord que les deux variables j^ et z^ il vient, comme dans le numéro qui précède,
. . d*u d^u d^u I d*« I du
l'^ dr* d?"" d7"^? d^"^7 dï'
Nous trouverons de la même manière
, , d*u d^u â*u I d^u 1 du
^^' ôs' ôx^ Or' "^ r^ de^ r ôr
La première équation du dernier numéro donne encore
i du 1 du cotô du
^ ' s ds r dr r* dO
En ajoutant membre à membre les équations (i), (a) et (3), il vient enfin
ôUi d^u d^u d-c' dj* dz^
â^u \ d^u I d^u 2 du cot9 du
dr^ a' dQ' s^ df ' r dr /» dO '
Remplaçant 5 par sa valeur, on trouve
âr^ sin'0 df sinO dQ
Cette équation, due à Laplace, est d'une très-baute importance dans la tbéorie de l'attraction et dans plusieurs questions de Physique.
§ VIII. — Élimination des constantes et des fonctions.
