Posons, pour abréger

^i — e\sin^a = ces b ; il en résulte

(i) sin'6 = é^sia^a,

DifTérentiant Téquation proposée, on en déduit , , , cosx sin r dy -h sin x ces r dx

2 cos6 = — ^ ^— r ^~r

' smx cosjr djr -h cosor sin j dx

et, par suite.

sin:r CCS or djr -\- sin r ces r dx

COSa= -: ;; : — .

sm x cos jr dy + cosar sinj^ dv On trouve de plus

««»/. (^r' — ^') ( cos'7 — cos'x)

sin u zz: ; ' — ,

(sinx ces/ dj 4- coso: sin j dxy

. j (sin'or^^ — ûïi^ydx'^) (ces'/ — cos* a:)

sin d z^ , ' ^ ■ •

(sm j: cosj^ dy + coso: sinjr ^)'

Substituant dans l'équation (i) et réduisant, on obtiesl l'équation diiTérentielle

/ox dy dx

VI — é^ sin' j y ï — ^^ sin'o:

Il est facile de reconnaître qu'il faut prendre le signe -H dans cette équation, lorsqu'on suppose cosi> o. Portons

en eflFet dans Téquation (2), à la place de ^» la valeur

V' I — é^ sin'or il vient, après une transformation évidente,

i/i — e'sinV i/ 1 — é^ sin'a: — e' sin x sin r cos^ cosj^

co&bz= 1 — — — —

I — e*sin^xsvû}y

Or le numérateur sera positif si Ton a

(i — e^ sin*/ ) ( 1 — é^ sin*^) > e* sin' j: sin'/ ces* a: cos'/,

ou bien é sin* a: siD'/( i — ces* a: ces*/) — é^ (sin' jr -t- sin*/ ) H- i > o ;

et cette inégalité a réellement lieu, car le premier membre peut s'écrire

(i — é^ûu}x sm*j)[i — ^(i — ces* j? ces*/)],

résultat nécessairement positif, puisqu'on a e <^ i . On verrail que le signe — dans Téquation (3) convient au cas où Ton suppose cosi <^ o.

En rapprochant Téquation (3) de la proposée, on obtient une importante propriété des fonctions elliptiques.