On trouve, en différentiant

du du ôr du àz dx dr dx dz d.j^

du du dr du dz dy dr dy dz dy

dr I dz \

— = U-f-c— j f^'[ax-\-cz)=a^'[ax^by),

d*où Ton déduit

I dr I dr

a (^or b dy

i du i du du 1 1 dz i dz\

a Or b df dz \a dx b dfj

On a d'ailleurs les deux équations

(a + c-r- \f'[aa:-\-cz)z= ay^'[ax — by),

qui donnent

et, par suite,

c -— f' [ax -h ca) = — b^' [ax — by)^

I ^3 i dz I

a dx b dx o

I du i du i du a dx b dy c dz

167. Dans cet exemple, comme dans la plupart des cas où Ton a à dilTérentier des produits de plusieurs iacteurs, il est avantageux de prendre la diirërentielle logarithmique des expressions sur lesquelles on opère.

Difl'érentiant donc par rapport à x les logarithmes des deux membres de Téquation proposée, il vient

I du __^''[x) 2<p'(dr)

Cotte équation, différentiée par rapport à y, donne celle-ci :

I d'^u I du du a^'f-^^l+'f^)

u àxdjr ^ u^ dxdy Ï7(^H-Tïr)? ' ou bien

d^u du du

dxôjr Ox OX

SOLTITIONS. 123

Le premier membre de cette équation peut s'écrire

ir = u ^-— I

dy àxày

d*oà résulte

dxdy

Cette équation joue un rôle important dans Tétude des surfaces.

{Géométrie analytique de Mojnge, édition Liouville. )

§ IX. — f^raie valeur des expressions qui se présentent

sous des formes indéterminées,