Fig. 8.) Soit fait

BC=:a, AC==ô, BN = X5

le plan principal ABC étant perpendiculaire au plan sécant, on a

DN = ~.r, EN = («a: ^ .r»)% FDE = ^ iax — x')K

Le maximum de la dernière expression répond à

216. {Fig. g.) Si Ton pose AC = a, CD = A, CN = x, BP représentant le grand axe de l*ellipse, la condition du

maximum est donnée par l'équation Les racines seront réelles si l'on a

c'est-à-dire lorsque l'angle du cône aura moins de 3o degrés.

Si les racines ne sont pas réelles, il n'y a pas de maximum, et la surface de l'ellipse augmente à mesure que son plan se rapproche de la base.

On aurait pu traiter le problème en prenant pour inconnue l'angle (f que fait le plan sécant avec le plan de la base. En désignant par 2 a, l'angle du cône, la condition du maximum est alors donnée par l'équation très-simple

sin 2 ^ nr 2 sin 2 a ,

qui conduit au résultat déjà obtenu.

217. Soient S la surface totale d'un secteur appartenant à une sphère dont le rayon est j:, j- la hauteur de la zone

SOLUTIONI. t37

qui lui sert de base, ^ cra' le volume donne; on a les équalions

2a» ^ 2oa»r /J^* V\

Posant

26ra' a

il s'agit de déterminer les valeurs de z qui rendent maximum ou minimum la fonction

On trouve

d'où les deux solutions

«»=io, «»=a.

On a donc les deux systèmes de valeurs

Ijr = a/io,

et

La dérivée seconde apprend que le premier répond à un minimum et l'autre à un maximum.

218. Soient x le rayon du fond du vase, jr celui de l'ouverture ^ -S la hauteur, et l'angle de cette hauteur avec

Frenbt. — Recueil, û*

l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Tarêle, et — r— le volume donné ; on trouve

(i) y^ — ar' — a' tanga,

M*sina = j^'(i -h sina) — J7*(i — sina),

en désignant par xsu^ la surface dont on cherche le minimum. On déduit de là

y^ dy — J^* dx = o.

(i -h sina)^ dy — (i — sina)a7rf.r = o,

d'où résultent les valeurs de o: et de ^