Soit fait AP = a, YAX=9, MA = jc, MP =^, MPA = a

1 éclairement u sera exprimé par la formule

A'sina u= — — ,

/ désignant une constante.

Or

a sinG

sin^G + a)

/'sinasin'(G -+- a)^

a^sin'O et par suite, en difiérentiant,

sin(ô -♦-a)[3sin(G 4- 2a) — sin0]=:o.

Un minimum évident répond à la solution

sin(ô -f- a) = o,

l40 CALCUL DIFFÉRENTIEL*

et l'on a pour le maximum cherché

sin(G -h 2a) =:-smO, formule facile à construire.

221. En prenant des axes rectangulaires et supposant les deux points situés sur Taxe des x, à la même distance a de Torigine, on a les équations

Am = tt* = y' H- (x — ay.

Bm = (•■ = j2 -4- (j: H- fl)S

dont la première exprime qu'un point m du plan appartient au cercle du rayon R ayant son centre au point (a, (3). La question conduit à poser

du H- dff = G,

c'est-à-dire

jrdx-]-{a: — a)da: y dy -{- [x -\- a) dx

avec

[x — aL)dx -\- [y — ^)dy=z o.

On en déduit

ou bien

en faisant

SOLUTIONS. l4l

Or celte quantité h n'est autre que la distance de Torigine au point P où Taxe des x est rencontré par la droite qui joint le centre du cercle au point m, La dernière relation revient donc à celle-ci :

Am AP B^ ~ BP'

d'où il résullç que la droite mV est bissectrice de Tangle A/wB, et que, par suite, le point cherché est le point de contact de la circonférence et d'une ellipse tangente au cercle, ayant pour foyers les deux points donnés.

Le problème se traite facilement par la Géométrie; il suffit d'exprimer que, en passant du point m kua point ni infiniment voisin sur la circonférence, la différence Am'B — AmB est infiniment petite d'ordre supérieur au premier.