Les équations données reviennent aux suivantes

dKT dK.r dy^^iiKy d' z ^ dK z ^'' IF^IrV '7/iP"~""^7' l{F~^llr~r

On en tire

.vdy — ydir = C, <ff , ydz — zdy = Cj dt.

Si l'on ajoute membre à membre les carrés de ces équations,

l64 CALCUL INTÉGRAL.

le résultat peut s'écrire

( 2) (.r»-+- j'-h «') {dx^-h ^r'-H dz^)'--(xdx -+- ydy 4- zdzf = A' dl%

A' représentant la somme C] -*- C'.

D'ailleurs, en multipliant les équations (i) respectivement par a rfr, 2rfy, 2 Jz et ajoutant, il vient, 2B désignant une constante arbitraire,

dx^ -h flfj» 4- ^«' = 2 (R H- B) dt';

ce qui permet de mettre l'équation (2) sous la forme

(3) [xdx -irydy H- zdzf = [2/»{R 4- B) — k\df= r'tlr^ On lire de là

(4) . rfr=[2r^(R4-B)— A»r^</r; et, en dilTérentiant,

d^r dK A»

dt^ "■ </r "^ r»

Ce résultat

nous permet de déduire

de la première

de»

équations une

relation qui ne renferme

plus R ; on trouve

ainsi

dt^ r de "^ r^ r ~"

ou bien

dt\ dt\r) \^ r-^ r

Changeons

de variable indépendante

et posons

r» A ^ dt^ d^'

la relation précédente devient

df ' r

SOLDTIOSS. l6S

et, par suite,

— = g', cos ^ -♦- // . sin^.

On aurait de même

^ = giCOSff -h /lîSiny,

- = g'a cosç -f- /13 sin <p.

D'ailleurs les équations (4) cl (5) nous donnent

f-f-a= r[2r»(R-hB) — A'f *^/r,

^-f-6= rAr-[2r'(a-hB) — A'f '^r.

Les constantes arbitraires A, B, a, 6, ^1, Ai, etc., ne sont pas toutes indépendantes. En eiïet, si Ion élève au carré les valeurs de x^ y^ z^ on trouve

I = cos'ç(^J H-^î -+-/?î) -h sin'ç(/i; -h AJ H- h\) -h 2 sin (p cos (p (g', ^, -{-g^a^-^g^fh).

Cette relation ayant lieu pour foutes les valeurs de o, on en conclut

gxhx+gifh-^g^fh = 0\

de plus, o modifiant seulement les constantes ^1, //i, etc., on peut le supposer nul , et il reste en définitive six constantes distinctes.

Observons aussi que les intégrales qui déterminent f et y ne sont pas indépendantes. Si Ton pose, en elFet,

/dr *-

l66 CALCtJL INTÉGRAL.

on a

^ dh' ^^ dk

Si R = -j (X désignant une constante, le calcul précédent donne la loi du mouvement d'un point matériel attiré par une force centrale qui varie en raison inverse du carré de la distance.

Ce calcul, du à M. Binet, a été appliqué par lui au cas d^un nombre quelconque d'équations.

{Journal de Liouville, tome II.)

§ XVin. — Équations aux différentielles partielles linéaires et du premier ordre.