S I \.r-^œ.Yds

de

ds^ = d.r'^ H- rfy» H- £/«% on tire

d.8s = —d.$x-\- ^d.dr-^-pd.Sz.

ds ds "^ £/f

Après avoir substitué cette valeur dans la première équation et intégré par parties pour faire sortir du signe i les

différentielles des variations , on arrive aux équations suivantes :

(.) d[ir-^yi\=o, rf[{...)»|]=o.

A représentant l'expression

Les deux premières suffisent pour déterminer la courbe. On en lire

z=:ajr-^b;

donc la courbe est plane. Si on la suppose située dans le plan des x^y^ il faut intégrer Féquation

Cette équation revient à la suivante :

SOLLTIOlfS. 177

OU plus simplement

dont il est facile de trouver les cas d'intëgrabilitë.

Si n = î la courbe est une cycloïde et le calcul qui

précède est celui de la brachistochrone.

Cherchons ce que devient Féquation aux limites quand les deux points Po et P| répondant à jr© et Xi ne sont pas fixes , mais assujettis à rester sur deux courbes données C© et Cl. Les variations des points extrêmes étant indépendantes Tune de l'autre , on a d'abord

A,j = o , ou

(d.T . dy . dz . \

c'est-à-dire que la tangente à la courbe au point P est perpendiculaire à la tangente au même point de la courbe Cf. On a aussi