I -h ^JC. 1 /î (x — -x^y-' dx = o

D'ailleurs, pour tous les points de la courbe d'où l'on tire

L'équation (3) devient alors

1^8 C\ÏCUL INTÉGRAL.

Baus les multiplicateurs de âjo et âzo on peut remplacer l'indice a:© par Tindice ar, , car on a , pour tous les points de la courbe,

. cLc , . dz

(x — xA* —- :== const., [x — .rj" -- =r const. ^ ' as as

L'équation (4 ) ainsi modifiée prouve que la tangente à la courbe cherchée au point Pi est perpendiculaire a la tangente au point Po considérée comme appartenant à la courbe Co.

L'intégration des équations (i) introduira quatre constantes , et il y aura en outre à déterminer les six coordonnées des points P© et Pi . Il est facile de voir, d'après la méthode générale , qu'on obtiendra en tout dix équations pour calculer ces valeurs.

Les courbes renfermées dans l'équation (2) s'obtiennent en faisant rouler sur l'axe des y les courbes dont l'équation est

/^cos/wÔ = r". {Foirn** àAS.)

450. Si Ton suppose la génératrice du cylindre parallèle à l'axe des z^ la surface a pour équation

La condition du minimum nous donne , en supposant les limites constantes,

D'ailleurs la relation déduite de (1), permet de réduire à deux les variations sous

SOLUTIOWS. 17g

le signe. Il en résulte alors les deux équations suivantes:

(3) ri'j^o,

. d^ dx dff dr

dont la dernière est une conséquence de (i) et (3).

Cette équation (3) apprend que pour toutes les surfaces cylindriques la tangente à la ligne minimum fait un angle constant avecla génératrice. Ce résultat était facile à prévoir.

Si le cylindre est droit, la courbe a pour équations

c'est une hélice.