Il s^agit de rendre maximum l'intégrale
[y'* dx — ayds) =; o.
On trouve, en faisant varier seulement F abscisse , et j par suite ,
[à'r'-(y'-brY
Cette équation n'e$t pas iutégrable en général, maïs on peut toujours obtenir s en fonction de y. On a en effet
nydx ardr
ds zr
ce qui peut s'intégrer sous forme finie.
Si 6 = o, la courbe est un cercle»
l8o CALCUL INTÉGRAL.
4K2. La théorie des maximum et minimum relatifs nous donne
Si l'on fait seulement varier Tabscisse, il eu résulte l'équation différentielle
y-{-2af-^~2b — = C, as
ou
OU bien encore
{y -^ay-\-2b£-=zC,
. dx
et, par suite,
[46'-(c-rTf
C'est l'équation de la courbe élastique. (Voir hP 407.) C'est aussi celle de la courbe que décrit le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole dont le grand axe est ai, et qui roule sans glisser sur l'axe des x,
483. La question revient à trouver la fonction de x qui rend minimum le produit
(0 r V-h/'T^.^x / ydx.
Or si l'on cherche en général à déterminer une fonction j" telle que le produit UV soit maximum ou minimum, U **t V désignant deux intégrales définies quelconques prises entre les mêmes limites, il faudra satisfaire à la relation
U(îV4-V^U=r o;
les multiplicateurs des variations sont ici des constantes qu'on pourra calculer dès que la fonction sera connue.
Dans le problème proposé, Téquation à laquelle il faut satisfaire est la suivante :
A et B représentant les valeurs constantes que prennent respectivement les deux facteurs du produit (1) pour la valeur cherchée àa y.
L'équation (2) peut s'écrire
^ / Lo+1» H-/^')'j ^/^'^o;
il en résuite Féquation différentielle
dix — d :=: O ,
et, par suite,
Il est manifeste que Tare de cercle qui répond à la question doit tourner sa convexité vers Taxe des x.
Les constantes A et B, dont le rapport est le rayon même du cercle, se déterminent au moyen des intégrales dont eUes expriment les valeurs.
4S4. jr variant seul , on a
Afin de faire apparaître sous le signe la différenlîclle de <Î5, nous poserons
5«~' dx = H.
iSa CALCUL INTÉGRAL.
Il en résulte
et, en ayant égard aux limites qui sont supposées constantes,
L'équation de la courbe est donc
d'où
ds ds '
et, par suite,
(A) ad -f-h-^ 5"-' djc = G.
ds ds^
^ ' ' dr Soit fait — = w, l'équation (A) devient
adii 7 -h s*'-^ ds = o^
et enfin
ads df =
[a' -h (s^ -^ àyf
Pour « == I, on trouve la chaînette.
4ôi5. Le dénominateur de l'expression proposée ne devant pas changer avec la nature de la courbe, il suffit de poser
f X(fds = o, Celte équation devient, en ne faisant pas varier x,
Jf (x(f' ds-i'X(fd.Ss)=zo,
i^OLtïIONS. l83
Pour uous débarrasser deds sous ]e signe , posons
/ xy' fls=: H;
d'où
et en ayant égard aux limites qui sont constantes , On trouve alors pour Téquation de la courbe
d'où Ton tire
et, par suite (n" ^S^»),
ads
dy ■- -y
en posant
F(.) = Jy,/..
Si q) = 5 , on trouve la chaînette.
Le cas général est celui où Ton cherche parmi toutes les ' courbes de longueur donnée celle dont le centre de gravité est le plus bas, en supposant que la densité soit en chaque point fonction de Tare qui y aboutit.
