Posons

il en résulte

Xf{z)dz^=nxtf(x)=: I f(x)dx} Jo

et en différentiant les deux membres par rapport à jr,

où

Il faut démontrer

qu'on ne logar:

) peut

avoir

y* et (f désignant deux fonctions algébriques entières de x et premières entre elles. Pour cela, différentions Tégalilé précédente , elle donne

Il résulte de là que 9 doit être divisible par x, et que/ne doit pas l'être. Faisons donc

Tp étant un nouveau polynôme non divisible par x; nous en conclurons

Substituant cette valeur et celle de y dans Téquation (i) , il vient

OU bien

Celte dernière égalité est absurde, car le second membre est divisible par x et le premier ne peut Têtre , y*et ^ étant premiers avec x» Donc, etc.

15. Si la fonction <f {x) n'est pas nulle depuis x = û jusqu'à X = i 5 elle doit changer de signe dans cet intervalle , sans quoi les éléments de l'intégrale u étant tous de même signe pour une valeur convenable de w, l'intégrale ne pourrait être nulle. Supposons donc que (f (x) change de signe, trois fois par exemple, et soiejit Xi^ Xg, x^ les valeurs de X qui donnent lieu à ce changement. Soit fait

^(x):={x — x,)(.r — oTa) (jtr — a;j)=: A.r3+B.r' 4- Cj: H- D.

Puisque l'intégrale u est nulle pour toutes les valeurs entières de 7^ , on a