On trouve
dx
= dy\c^X "— i^
équation toujours intégrable si n est entier. Pour n = 2, on a une cycloïde ; pour n = i, un cercle. Lorsqu'on suppose n = — I, l'équation devient
dr
dx:
d'où l'on tire
et, par suite^
cy-^ (cV— i)» = «e*,
cjr — (c'j' — i)* =-c
ic\ a} ]
La courbe est une chaînette.
50. On trouve immédiatement, en ppenant A pour origine et AB pour axe des z ,
L'intégrale de cette équation aux différentielles partielles
est la suivante :
jf-
On déduit de là
dz = (^ — 0-^^ ,. (/yi — i)r4r ^
et, en intégrant,
«»= (m — i)ar«4- (/i — 1)^-*+ C.
52. Prenons le point A pour pôle ; le rayon de courbure en un point quelconque a pour expression , au moyen des coordonnées polaires ,
en posant
dr
dè = ^'
La condition du problème revient d'ailleurs à dire que la projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur est à ce rayon vecteur dans un rapport constant. Il en résulte l'équation
= adr.
qui peut s'écrire
p(rdp-
p^ r^-hp^
Elle devient
2 udu dr -= 2«— j
en faisant
aïO QUESTIONS DIVERSES.
par suite,
r"«= 6»(i «h w'), et enfin
dB= J-.
Celte dernière formule s'intègre (n° Î66) et donne
r« ces ^ ( 9 — «) = ^. {Foir n*» 448.)
55. Ce problème se résout simplement en définissant la courbe , d'après Euler, par une équation entre le rayon de courbure p et l'angle y que fait ce rayon avec une direction constante. Soit donc
l'équation de la courbe , (p étant l'angle du rayon de courbure avec une droite donnée. Pour fixer les idées, nous supposerons que cette droite est Taxe des y. On voit sans peine qu'on a
ds = p^f 9 et comme
dr -=tangç,
da: = ds ii-h --7—^] =pcosf<s^y, dy =. ^ sîn^éff»
Ces deux dernières équations feront connaître a: et j^ en fonction de (p. D' ailleurs , si jOi et (pi sont les coordonnées du point de la développée correspondant au point qui a p et <p pour coordonnées , on a
