Désignons par s une inconnue auxiliaire telle qu'on ait

s = r sin 6 ; il en résulte

X = ssin(f, zz=scos(fj j = rsin0, j::=rcosô.

En ne considérant d'abord que les deux variables j^ et z, il

Vient, comme dans le numéro qui piécède,

d^u d*u d^u \ dfii i du

^^^ dp'^ d^ ^ ^ '^ 7'd^ "^Hds'

Nous trouverons de la même manière

d^u d^u d^u I d^u i du

^^^ 'd^'^d^'^dF'^T^dF'^rdP'

La première équation du dernier numéro donne encore

. . i du i du cosÔ du

^ ^ Ids'^rdr^ ~7»~ 711'

En ajoutant membre à membre les équations (i), (2) et (3), il vient enfin

d^u d^u d^u^d^u i d* u 1 d^u ^ du ^"^^"^"5?"""5r^"^r^ d¥ "^ ? rf^ "^ r dr cotd du

-^ — rfê = "•

Remplaçant s par sa valeur, on trouvé

d'{ru) r -

,, rf sm 9 —

I d*u I \ dB)

dr^ sin^ô dtf^ sin 9 dB

Cette équation , due à Laplace, est d'une très-haute importance dans la théorie de T attraction et dans plusieurs questions de physique.

§ V. — Élimination des constantes et des fonctions. 62. On trouve

dr^ axy -~ -f- ( bx^ — ay^ — c') — bxy = o.

es. On a les équations

adx -+- bdy -f- cdz = o, ad^x 4- bd^x -H ^^* = ^j ad^x H- bd^y -h cd^z = o.

Les deux premières doniKînt a h

dyd'z — dzd^y dzd^x-^ dx d^z dx d^y — dy d} x'

el par suite, au moyen de la troisième,

[dyd''z—dzd'y)d?x -4- {dzd^'x — dxd'z) d'y