a = -(x+i|), 6 = 4(« + -)(^y; on trouve

8i «6' = i6 [2 flf ± {a} - 6flaf ]* [d= (û'- 6/za)*' — «]•

SOLtJTÏOlfS. 63

d'où

Tirant delà x^ et^% puis substituant dans Téquation de la courbe, il vient

16Î. On trouve tout de suite

j^ — 6=27, d'où j = -— 6.

Or

djr (IcL {^^jr — y^y

donc enfin

rf(-P) ^ (-6)

équation différentielle d'une cycloïde égale à la proposée, mais inversement placée par rapport aux axes.

On peut, d^ ai Heurs , trouver géométriquement cette développée, en remarquant que si l'on prolonge MB d'une quantité égale B/n, elle n'est autre que le lieu des points m {^voir n° 127) , fig. 10. Si l'on mène une parallèle à Taxe de X , au-dessous de cet axe et à une distance marquée par le diamètre du cercle générateur de la première cycloïde, on aura la base de la seconde qui a son sommet au point A, et qui rencontre sa base sur le prolongement de C'B'.

£65. 6 =— : -TT = r; il est facile de voir que

c'est là l'équation différentielle de la chaînette.

donc

^^c — -^ [{ce + cy ^ /i C'Y z= o);

telle est Féquaiion difFérentielle de la développée de la chaî-

nette.

1615. y — è = 9 d'où y= ^ — 7 '-

166. Nous prendrons Téquation de la courbe sous la forme p = mr. [Voir note du n^ 1S7.)

Si p', r' sont les coordonnées d'un point de la développée d'une courbe quelconque, on voit sans peine qu'on a généralement

avec la relation connue ozzzr-r- ' dp

Au moyen de ces équations et de celle de la courbe

pz=f(r)j on éliminera p, retp^ le résultat sera l'équation

de la développée.

Pour la spirale logarithmique , ce calcul nous donne

p'=zmr\

équation d'une spirale égale à la proposée.

Il peut arriver que la spirale logarithmique soit à ellemême sa propre développée. Cherchons la condition nécessaire pour cela. O étant le pôle, M un point de la courbe, N le point correspondant de la. développée qu'on suppose appartenir aussi à la spirale , les lignes OM et ON sont perpendiculaires ; c'est une conséquence de ce théorème que la tangente faî.t un angle constant avec le rayon vecteur. Il

résulte de là que si r = e^ est 1 équation de la courbe , r' le rayon vecteur de la développée , on a

On trouve aussi, en s'appuyant sur le théorème rappelé,

(2A-Hi)7t r=zar''y donc a^=e ^

Telle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une spirale logarithmique soit sa propre développée.

Cette courbe se reproduit de plusieurs autres manières. Sa développante , ses caustiques par réflexion et par réfraction en supposant le point lumineux au pôle, le lieu du pôle d'une spirale roulant sur une spirale fixe égale, sont des courbes égales à la proposée. Jacques Bernoulli, frappé de ces propriétés remarquables , appelle cette courbe spira mirabilis. Il voit en elle le type de la constance, le symbole de la résurrection. Voici le curieux passage où il témoigne son enthousiasme : « Cum autem ob proprîetatem tam sin- )) gularem tamque admirabîlem mire mihi placeat spira )) hsec mirabilis, sic ut ejus contemplatione satiari vix » queam, cogitavi illam ad res varias symbolice reprœsen- » tandas non inconcinne adhibcri posse. Quoniam enim )) semper similem et eamdem spiram gignit, utcumque » vplvatur, evolvatur, radie t , hincpoterit esse \el sobolis » parentibus per omnia similis emblema : simillima filia

» matri Aut, si mavis, quia curva nostra mirabilis

)) in ipsa mutalione semper sibi constantissime manet simi- » lis et numéro eadem , poterit esse vel fortitudinis et con- » stantiœ in adversitalibus , vel etiam carnis nostrœ, post » varias alterationes et tandem ipsam quoque mortem, » ejusdem numéro resurrecturae syrabolum 5 adeo quidem )) ut si Archimedem imitandi hodienum consuetudo obti- » neret, libenter spiram hanc tumulo meo juberemincidi )) cum épigraphe : Eadem mutata resurget. »

1C7. L'épi cycloïde a pour équations

i X =i (a -{- 0) cosÔ — b cos -, •>

^*^ 1 (a-hb)Q \ j =r (^ -H ^)sinO — ^ sin •

Cherchons d'abord Tëquation de celte courbe au moyen des coordonnées p et r (n** i87). On tire des équations (i)

(a) /•»=fl'-f-4*(« -♦- *)sin»— 5

et, après les avoir différent] ées,

f/j = 2(fl -h ^)sin — dB; par suite

a ces —r dr ^b

— = =cos<p,

ds r ^

f étant l'angle de la tangente avec le rayon vecteur. On déduit de là

(3) /?' = r'sin*q> == r* — «'cos'--r»

L'élimination de entre (a) et (3) conduit à l'équation

en posant

La méthode du n° 187 donne

et, par suite,

pour l'équation de la développée^ c'est une autre épîcycloïde.

§ Xni. — Géométrie à trois dimensions.