Fig, 23.) Soient M un point du lieu, H et K les

yO CALGUL DIFFÉRENTIEL.

points fixes dans le plan ocy^ C le milieu de HK, O le centre de la sphère, dont nous supposerons le rayon égal à I, MP un arc de grand cercle perpendiculaire à HK, ei posons

MH -1- MK = 2 a, HC = CK = 7 ,

L'angle P étant droit, la formule fondamentale de la Tri gonométrie sphérique nous donne

cosMK = CCS ô ces {7 — f ) , cosMH = cosÔcos(7 -H (p) ;

d'où l'on tire

MH — MK ces ô cos <p cos 7 cos =r ,

2 cos a

. MH — MK cos sin o sin 7 sm == : — ' ;

3 sin a

par suite,

,^ /cos' 7 , siû*7 . , \ I = cos' ô — zr- cos*® -+- -: — - sm' © y \cos'a sm'a; '/

Or il est facile de voir sur la figure qu'on a

X = cos 9 sin (p , y ■=. cos cos (j> ; par conséquent ,

sin' 7 , cos' 7 ,

sm' a cos' a

Si le rayon de la sphère est r, la projection de la courbe cherchée sur le plan xy a pour équation

sin* 7 , cos' 7 , sm' a cos' a

la courbe résulte donc de l'intersection de la sphère avec un cylindre.

SOLUTIONS. yi

En combii^Dt la dernière équation avec celle de la sphère

on en déduit

cos'7 x' + (i — tang» a ces' 7 ) /» -h a' = r» cos' a , ou bien

en posant

r'cos'a . r' cos*a

a^ = ; — , 6* = ; r- > c' = r' cos' a.

ces' 7 I — lang' « ces' 7

La tangente a pour équations celle du plan normal sera donc

La courbe que nous venons de trouver s'appelle Y ellipse sphérique. Pour étudier les courbes tracées conime celle-ci sur la sphère, il est avantageux d'employer un système de coordonnées pris sur la sphère même. Consulter a ce sujet le Journal de Crelle , tomes VI et XIII , les Transactions philosophiques, vol. XII, les Noui^elles Annales de Mathématiques y tomes VI et VII, et divers travaux de MM. Chasles, Gudermann, Borgnet, etc.