Aire =-<?«— c*|==c(j

Désïgnons par/(x) et cF (x) l'ordonnée et l'aire qui répondent à l'abscisse .r ; on démontre facilement qu'on a les

relations suivantes, analogues à celles qui existent entre les sinus et les cosinus :

r/(x-hx')=/(.r)/(x')H.F(x)F(y),

cF(4r + a:') = F(x)/(x')-h/(x)F(:c').

rF(ar-x')=:F(j:)/{x')-/(r)Fix').

SOS. On est conduit à intégrer une diffërentielle binôme.

Il vient, en faisant le calcul,

3 TT aê

airc totale = — ^ — o

On arrive beaucoup plus rapidement à ce résultat au moyen du théorème suivant, dû à M. Lejeune-Dirichlet ; Soit

V = jc/x jdf Idz . . a--' 7*^' *«-' . .

Les limites étant données par la condition qu on ait toujours

et les quantités a, &, c, . . . , «, S, y, . . . , p, ^, r, . . . , étant positives, la fonction V aura pour valeur

^)iMSy

par (abc \

[Voir le tableau des intégrales définies données page i32.)

Or, l'aire cherchée x\ a pour expression 4 / / dxdj^ les limites des intégrales étant assujetties à la condition

laa CALCUL INTÉGRAL.

on a doue '

9^sK^)ï

D'ailleurs

r(4) = ....3, r(|)=.r(. + i)=:rl,

puisqu'on a géntsralement

r(/î)= 1.2.3- ..(/i — i) et r(/i-Hi)=:/ir(/ï),

et comme T ( - j = 7r% on retombe sur la formule déjà obtenue. Le théprèm^ de ]V|. Lejeune-Dirichlet se trouve dans le, tome IV du Journal d^ M. Liouvîlle.