En employant les coordonnées polaires , il vient

aire = y «' sin 2 -4- C.

L'aire totale est égale à a*.

504. (Fig, 24.) Pour avoir l'aire enfermée dans la ligne ODCAHG , on intègre depuis = o jusqu'à la première valeur de qui annule le rayon vecteur, et on double le résultat. Soit a cette valeur fournie par l'équation de la courbe , on trouve

aire ODCAHG = i [(a^+ 2 è^ ) a -h 3 ^ (a»~ ^')^]- On a aussi

aire OEBF = i [(«'-4- 2 6') (tt — a) — 3 è (a*— b'y\

50Ô. aire=- û' tango -4-2fl^logtang (tH-7) +^'0 H-C.

306. En faisant usage des coordonnées du n'* iô7, ou trouve facilement

SOLtJTIOlfS. 123

et , par suite ,

prdr

Appliquant cette formule à Fépicycloïde qui a pour équation (n<^i67)

il Tient

e Crdrlr^-^a^Y c C rdr[r^-^à'Y aire= — I ^ / -== — I ^ 7-

= ^ f-^ ^ -4- ^ . • ■ arc sin ) •

On déduit de là que Taire engendrée par le rayon vecteur pendant une révolution entière du cercle mobile a pour expression

en remplaçant c par sa valeur a -H 2 ^.

Cette expression renferme, outre Faire comprise entre le cercle fixe et l'épicycloïde , un secteur du cercle fixe dont l'arc a pour longueur la circonférence mobile. Ce secteur ayant pour valeur vjab^la. surface restante est égale à

— (Su -4- 2ft).

§ Vin. — Rectification des courbes.

Nota. — Nous désignerons généralement l'arc cherché par S.