L'équation de la conckoïde étant

le volume engendré par la révolution de cette courbe autour de l'axe des x a pour expression

V = ^^— ufl^'arcsin^ -h "1 (*'-rf (r'-H 2 fc»).

En faisant ^ = o et doublant le résultat, on trouve pour le volume total

§ X* — Quadrature des surfaces, 524. Les équations des surfaces étant

on en lire

dz X dz

dx z dy '

l3o CALCUL INTÉGRAL.

et on posant yi= (n^ — •^')%

et en prenant des coordonnées polaires,

c'est l'expression de la surface enlevée par le cylindre au gième j^ 1^ sphère. La portion détachée de la sphère totale sera donc quadruple de celle-là ; et si, au lieu d'un cylindre, on en suppose deux égaux, extérieurs l'un à l'autre, mais ayant une génératrice commune qui passe par le centre, la surface détachée sera ^ira^ — 8a', et par suite la surface restante est égale à deux fois le carré du diamètre.

Ce problème est celui que Viviani proposa, sous forme d'énigme, aux géomètres de son temps. Voici en quels termes il s'exprime dans les ^cta eruditorum de 1692 :

« Inter venerabilia olim Graeciœ monumenta extat y^ adhuc, perpetuo quidem duraturum, Templum augustis- » simuni ichnographia circulari almœ Geometriœ dicatum, » quod testudine intus perfecte hemisphœrica operitur^ » sed in hac fenestrarum quatuor sequales are» (circum ac » supra basin hemisphaerae ipsius dispositarum) tali confia » guratione, ampli tudine, tantaque industria ac ingenii » acumine sunt extructae, ut his detractis supers tes curva » testudinis superficies, pretioso opère musivo ornaia, » letragonismi vere geomelrici sit capax. » ( Foir n® 518) .

526, L'élément de la circonférence de base du cylindre

SOLUTIONS. l3l

étant

a dx

It ï'

on a

d'où

527. (Toir n^ 5«l etjig. a6.) ds désignant Tëlëmcnt de l'arc DNB, la surface QDNB a pour expression

/zds = at2Ln%a. j — ^ ^ = â'tanga.

Jo {a^—x^y

L'aire de la surface QEBD est donc 2 a* taog a.

dx y ( I H- ^\ = ivsa j dy= aita^

§ XI. — Changement de variables sous le signe d'intégration,

3S9. La méthode générale nous donne

-^ \diidv dv du) ce qui se réduit ici à

dxdy ^=. ududp\

on a

donc

r Tx" x^dxdy z= I I uT^'^' (l •— «')''•♦'« da do.

Cette transformation a été donnée par M. Jacobi {^Journal

li'l CALCUL INTÉGRAL.

de Crelle, lome XI) ; elle est d'un grand usage dans la recherche des inlégrales définies.

350 i i e'^-^r' djr fiy: z= ^ f Ç e"^ rdn