On a

-^ = Io6xlog( . +x) j IL__^ ,

D'ailleurs, pour toutes les valeurs de o:, de o à i ,

log( I -h x) = A- '^ T "~ ^^^•

Multipliant les deux membres de cette égalité par -— et intégrant entre les limites o et i , il vient

( Foir n*» 18 des Questions oivEasES.)

l38 CALCUL IITTÉGRAL.

S45. On trouve, au moyen de rintégration par parties,

Jo ^

D'un autre côté,

r iog(i— x) ^^ , r' iog(i-i>^)^^ ^i r* I— x^)./.x^

ou bien

en vertu du numéro précédent.

Cette intégrale aurait pu s'obtenir aussi en développant log (i — x) en série.

On déduirait facilement de ce numéro et du précédent,

O >-^^ Jo 2(1— x] X 277^"^)—'* 8'

et

C^ x\oQxdx I /" logA'^é^.a:* 7r=

Jo i-x» -JX »-^ """"24*

544. Supposons d'abord w pair et égala 2fl. Le premier membre de Fégalité qu'il faut établir renferme donc a — i facteurs de la forme F (/) T (i — r), plus le facteur du

milieu F ( - | = tt' . Ce premier membre peut donc s'écrire (Formule E) :

sin ( I sin (--)... sin ( |

\rt 2/ . \« 2/ \ a 2/

80LVnOS5. i39

D'ailleurs, on a trouvé (n® 557),

le produit considéré est donc bien égal à

(air)» fTk

Si 71 est impair^ le nombre des facteurs est pair, et en recourant encore à la théorie des équations binômes, on retrouve la valeur précédente.