On trouve par la différentiation

du ^ r^ ( cosa? >- a ) sJQ^" j:^x

/rf*a , , , r^( co8a:-a)'sin»»xrfx

f '^^'jo (i — 2flC0Sa;-ha»)«+''

L'intégration par parties donne en outre r^ cosa:sin'»x^ 2(/?H-i)g ^ ___?!.^.!^:?____. .

d'où

dâ^ 2/n-i Jq (i — aacosx -+-û')"^*

Q (l — 2ât COSX + Û* )""«■'

Si l'on élimine la première intégrale du second membre entre cette dernière équation et l'équation (2) , il viendra

d^u 2.n -\- i du da' a da

d'où

a étant <[ i, c' doit être nul, sans quoi l'intégrale devrait croître indéfiniment quand on fait tendre indéfiniment a vers zéro, ce qui ne peut avoir lieu. La valeur de c résulte

SOLUTIONS l43

d'ailleurs de Thypothèse a = o qui donne

• ,» j (2/1 — i)(2/i — 3). . .3.1 îT 2/1(2/1 — 2J...4.2 2

Si l'on suppose a> 1, on voit sans peine que l'intégrale s'obtient en multipliant l'expression précédente par «*"*".

§ Xin. — Équations linéaires à coefficients constants.

5Ô5. Par la méthode de la variation des constantes on trouve

On arriverait au même résultat en observant que le second membre étant une fonction entière du quatrième degré en X , si l'on pose

j»=: A-f-Bx-hCx^+Dar^ + Ex*,

il sera facile de déterminer les coefficients A, B, etc., de telle sorte que yi soit une intégrale particulière de l'équation proposée. Pour avoir l'intégrale générale, il suffira d'ajouter kfi l'intégrale générale de l'équation privée de second membre.

La méthode précédente peut toujours s'appliquer lorsque le second membre de l'équation est une fonction entière de X] elle convient encore (juand il renferme , sans dénominateurs , des exponentielles , des sinus , des cosinus , dans lesquels j? n'entre qu'au premier degré. Si, par exemple, le second membre contient e"' ou sinax^ on introduit dans l'expression de j-jAf?** ou Asinax + Bcosax, A et B étant deux indéterminées.

Le procédé que nous venons d'indiquer abrège souvent les calculs.

l44 CALCUL INTÉGRAL.