La variable indépendante étant z, on a (p. ig
jrx =zp — 3, y .r 1= 2/; — z,
x" __f — '^v^ __ ^'f — y^" ^'-ï^" -H yf
y^ —•^~ P'~ sjx^ -f- j» -+- /?'
On déduit de là Téquation du plan normal et celle du plan osculateur. La dernière, qui prend la forme simple
X^- — Yx -H (Z — z)p = o,
fait voir que toute parallèle au plan Xj^, menée par un point de la courbe dans le plan osculateur, rencontre Taxe des j.
208 GA.LGUL DIFFÉaENTIGL.
On tire aussi des mêmes formules
et par suite, en tenant compte des relations (2),
X^-hy^-h p^
P On peut remarquer que Télément de J*arc
as =: ^
xy
se simplifie quand on élimine p de la quantité placée sous le radical. Oi a, en effet, en désignant cette quantité par A* et ayant égard aux équations (i),
93'//» = j» [gj* — 4^3(^ -f- 2) H- 47^(jT'-h :.») + x« -h «<],
ce qui conduit à poser x -^ z = u*^ il en résulte
et par suite, à cause de la relation (j:+y)(z-+-a: — y)=rpy^
ds py
dz
sj[x + j- -h zj'H- 2.r3.
En posant r = /x, on voit que la courbe est unicursale et du troisième degré [Rem, du n® 245). Elle est d'ailleurs un cas particulier de rinterseclion de deux hyperboloïdes ayant une génératrice commune. Si Ton prend cette génératrice pour axe des z, et pour axes des x et des j" des génératrices appartenant, dans chaque surface, au système différent de celui dont fait partie Taxe des z, il résulte immédiatement des équations obtenues que Tintersection esl
unîcursale et du troisième degré, d'où le nom de cubique gauche par lequel on la cPésigne ordinairement. Observons que si Ton en cherchait les projections sur l'un dos plans coordonnés, on trouverait généralement une courbe du quatrième degré, puisque chaque hyperboloïde est du second. Cette circonstance tient à ce que l'intersection complète renferme à la fois la cubique gauche et la génératrice commune. Généralement, si m et n sont les degrés des deux cylindres qui projettent une courbe parallèlement à deux des axes, leur intersection complète étant du degré /7i//, il en résulte qu'elle renferme nécessairement des points étrangers à la courbe si le degré de celle-ci est un nombre premier.
La cubique gauche jouit de propriétés dont les plus importantes ont été données par Gha^les. M. Cremona (Nouv^. Ann, de Math,, 1862) en a fait l'objet d'un travail remarquable et très-instructif.
295» [Pig' 2i6.) Soient M un point du lieu, H et K les
points fixes dans le plan xj^ C le milieu de HK, O le centre de la sphère dont on suppose le rayon égal à i , MP un arc
FKENrT. — Recueil,
aïO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
de grand cercle perpendiculaire à HK ^ on a de plus
MH -h MK = 2/?, HC z=CK = q, MP = 0, CP = y.
L'angle P étant droit, la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique donne les relations
cosMK := cosÔ cos(q — ^) , cosMH = cosO cos(q + t)>
d'où Ton tire
MH — MK cosO cosç cos<7
CCS = ■ -9
